设向量函数 B(x,y,z)=(Bx,By,Bz) 在 z≠0 时具有一阶连续偏导数, 在 z=0 时具有第一类间断, 且 \bex\DivB=0,z≠0.\eex 若 Bz 在 z=0 时连续, 试证明存在连续向量函数 A(x,y,z) 使 \bexB=\rotA.\eex
证明: 在引理 6. 1 的证明中取 (x0,y0,z0)=(0,0,0), 则由 \beex \bea A_x(x,y,z)&=\int_0^z B_y(x,y,z)\rd z,\\ A_y(x,y,z)&=-\int_0^z B_x(x,y,z)\rd z+\int_0^x B_z(x,y,0)\rd x,\\ A_z(x,y,z)&=0 \eea \eeex 给出的 A 连续.
