[物理学与PDEs]第1章第5节 Maxwell 方程组的数学结构, 电磁场的波动性 5.2 一阶对称双曲型偏微分方程组

1. 一般的一阶线性偏微分方程组形式为: $$\bee\label{1. 5. 2:1st_lin_pde} LU\equiv A_0\cfrac{\p U}{\p t} +\sum_{k=1}^n A_k\cfrac{\p U}{\p t}+CU=F, \eee$$ 其中

(1) $U=(u_1,\cdots,u_N)^T$;

(2) $A_i\ (i=0,1,\cdots,n)$, $C$ 为 $t,x=(x_1,\cdots,x_n)$ 适当光滑的 $N\times N$ 矩阵函数;

(3) $F=F(t,x)$ 为 $N$ 维列向量.

2. 若 $A_0$ 对称正定, $A_k\ (k=1,\cdots,n)$ 对称, 则称 $\eqref{1. 5. 2:1st_lin_pde}$ 为一阶对称双曲组.

3. Cauchy 问题: $$\beex \ba{rl} LU=F,&\mbox{in }(0,T)\times \bbR ^n,\\ U(0,x)=U_0(x),&\mbox{on }\bbR ^n \ea \eeex$$ 的解是唯一的.

证明思路: 只要在弱类空向曲面上利用能量积分方法即可得到.

推论: 有限传播速度、双曲性.

4. 初 - 边值问题 (齐次边界条件): $$\bee\label{1.5. 2:ini_boun} \ba{rl} LU=F,&\mbox{in }Q=(0,T)\times \Omega,\\ U(0,x)=U_0(x),&\mbox{on }\Omega,\\ MU=0,&\mbox{on }\vSa=(0,T)\times \p \Omega, \ea \eee$$ 其中矩阵 $M_{p\times N}$ 秩 $p\leq N$. 另外, $\eqref{1.5. 2:ini_boun}_3$ 可以改写为 $U\in\pi$, 对某个 $\bbR ^n$ 的子空间.

(1) 解的唯一性: 利用能量积分方法, 只要 $$\bex \pi\subset \sed{U\in\bbR ^N; U^T\sum_{k=1}^n \cos ({\bf n} ,x_k)A_kU\geq 0}, \eex$$ 我们即可得到唯一性.

(2) 解的存在性: 在一些附加的假设下, 若 $\vSa$ 上每一点处, $\pi$ 为二次型 $$\bex U^T\sum_{k=1}^n \cos ({\bf n} ,x_k)A_kU \eex$$ 的最大非负子空间 (若 $\vSa$ 关于 $L$ 非特征, 则其维数为 $\dps{\sum_{k=1}^n \cos ({\bf n} ,x_k)A_k}$ 的正特征值的个数), 则解是存在的.