[物理学与PDEs]第1章第6节 电磁场的标势与矢势 6.2 电磁场的标势与矢势

1.  标势、矢势:  $$\beex \bea \Div{\bf B}=0&\ra \exists\ {\bf A},\st {\bf B}=\rot{\bf A},\\ \rot{\bf E}=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t} =\rot \cfrac{\p {\bf A}}{\p t}&\ra \exists\ \phi,\st -\n \phi={\bf E}+\cfrac{\p {\bf A}}{\p t}. \eea \eeex$$ 称 $\phi,{\bf A}$ 分别为电磁场的标势、矢势. 注意, 若 $\phi,{\bf A}$ 为电磁场的标势、矢势, 则 $$\bee\label{1.6.2:trans} \bea \phi'&=\phi- \cfrac{\p\psi}{\p t},\\ {\bf A}'&={\bf A}+\n \psi \eea \eee$$ 也是电磁场的标势、矢势. \eqref{1.6.2:trans} 称为规范变换. 虽然势有规范不定性, 但场在规范变换下不变.  

2.  电磁场的标势、矢势 $\phi,{\bf A}$ 满足的方程: $$\bee\label{1. 6. 2:eq} \bea \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2\phi}{\p t^2}-\lap\phi&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf A}}{\p t^2}-\lap{\bf A}&=\mu_0{\bf j}.  \eea \eee$$ 即 $\phi,{\bf A}$ 分别满足以 $\rho,{\bf j}$ 为源的波动方程.  

(1)  在 \eqref{1. 6. 2:eq} 的推导中须用到 Lorentz 条件: $$\bee\label{1. 6. 2:Lorentz} \Div{\bf A}+\cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p\phi}{\p t}=0.  \eee$$ 而这可通过规范变换得到.  

(2)  满足 \eqref{1. 6. 2:Lorentz} 的规范变换称为 Lorentz 规范. 另外, 称满足 $$\bex \Div{\bf A}=0 \eex$$ 的规范变换为 Coulomb 规范.