张祖锦_个人页

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:   (1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;   (2).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_nk$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散.   解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21

设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20

设 $a_n>0$, $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0. \eex$$   证明: 又题意, $na_n\searrow 0$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.18

设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足:   (1). $f(x)>0$;   (2). $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.17

设 $a_n>0$ ($n=1,2,\cdots$) 且 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $\dps{r_n=\sum_{k=n}^\infty a_k}$. 试证:   (1). $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{r_n}}$ 发散.

李炯生同志去世

丁夏畦同志去世

http://www.amss.ac.cn/xwdt/zhxw/bnd/201505/t20150512_4353855.html   

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.15

设 $\varphi(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数, 周期为 $1$, 且 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\bex a_n=\int_0^1 f(x)\varphi(nx)\rd x,\quad n=1,2,\cdots.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.14

设 $a_n\neq 0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a\ (a\neq 0)}$. 求证: 下列两级数 $$\bex \vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\quad \vsm{n}\sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \eex$$ 同时收敛或同时发散.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.13

证明级数 $$\bex 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \eex$$ 发散.   证明: 由 $$\beex \bea |S_{6n}-S_{3n}|&=\sev{\sum_{k=n+1}...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.12

设 $02$ 时, $\dps{\vsm{n}x_n^p}$ 才收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.11

证明: 若 $a_n>0$, $a_n\searrow 0$, 则 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 与 $\dps{\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\max\sed{n;a_n\geq 2^{-m}}$) 同时敛散.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.10

序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题)   证明: 由 $\dps{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\leq 0}$ 及 $$\beex \bea \s...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.9

证明: 若有 $\al>0$, 使当 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ (a_n>0)}$, 则级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ (a_n>0)}$ 收敛; 若 $n\geq n_0$ 时, $\d...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8

设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.7

设 $a_n=n^{n^{\alpha}}-1$, 讨论级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的敛散性.   解答: 当 $\al

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.6

证明下列级数收敛:   (1). $\dps{\vsm{n}\sez{\frac{1}{n}-\ln\sex{1+\frac{1}{n}}}}$;   (2). $\dps{\vsm{n}\sez{e-\sex{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}}}}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5

证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$.   证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中没有 $9$ 的个数为 $8\cdot 9^{m-1}$ (除首位可能为 $1,2,\cdo...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.4

证明: 当 $p\geq1$ 时, $$\bex \vsm{n}\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.3

证明级数 $$\bex 1 +\frac{1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{5}} +\frac{1}{\sqrt{7}} -\frac{1}{\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{9}} +\frac{1}{\sqrt{...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.2

设 $\sed{a_n}$ 为等差数列, $a_{n+1}-a_n=d>0\ (n=1,2,\cdots)$, $m$ 为一正整数. 计算 $$\bex S=\vsm{n}\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{n+m}}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.1

设 $k,i,j$ 都是自然数, 且 $k=i+j$, 试求级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{(kn-i)(kn+j)}}$ 的和.   解答: 原级数的前 $N$ 项和为 $$\beex \bea \sum_{n=1}^N \frac{1}{(kn-i)(kn+j)} &=\f...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.18

证明: $$\bex \int_0^\infty \frac{\rd x}{1+x^4}=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\rd x=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.17

已知积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.16

例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $\dps{\vlm{n}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}}}$ 存在, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$ 可以不收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.15

$\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2,\quad \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{e}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.14

若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm0,\ \exists\ T> 1,\st$ $$\beex \bea {\color{red} t>T}&\ra \sev{\frac...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.13

设 $f(x)$ 于任一有限区间 $[0,a]\ (a>0)$ 上正常可积, 于 $[0,\infty)$ 上绝对可积, 则 $$\bex \vlm{n}\int_0^\infty f(x)|\sin nx|\rd x =\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\rd x.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.12

$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收敛. 问能否断定: $\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)   解答: 肯定.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.11

设 $f(x)$ 是 $0\leq x

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.10

证明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.   证明: 由 $$\beex \bea 0&\leq \int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=-\frac{...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.9

设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x0,}\ \exists\ N_1,\st n\geq N_1\ra \int_{N_1}^n f(x)\rd xN_1,\st n\geq N\ra ...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8

设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 时, $f'(x)$ 单调递增趋于 $+\infty$, 则 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \cos f(x)\rd x \eex$$ 都收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.7

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    研究下列积分的收敛性:   (1). $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x}$ ($n$ 为自然数).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.6

证明 $\dps{\int_0^\infty f\sez{\sex{Ax-\frac{B}{x}}^2}\rd x=\frac{1}{A}\int_0^\infty f(y^2)\rd y}$ (其中左、右积分存在, 且 $A,B>0$).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.5

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    计算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.4

计算 $\dps{\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x}$.  解答: $$\beex \bea \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x &=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t\cos t}{\sin t}\rd t\...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3

求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续)  解答: $$\beex \bea \mbox{原积分} &=\int_0^1+\int_1^\infty f(x^p+x^{-p}) \fr...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.2

计算 $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\rd x}{(x^2+2x+2)^n}}$. (中国科学院) 解答: 设 $$\bex I_n=\int_{\bbR} \frac{\rd x}{(x^2+2x+2)^n} =\int_{\bbR} \frac{\rd...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.1

计算 (1). $\dps{\int_a^b \frac{\rd x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\ (b>a)}$. (2). $\dps{\int_{-1}^1 \frac{\rd x}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}\ (a>1)}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.10

若 $\forall\ i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0$, 则 $a_i,b_i$ 称为似序的. 若恒有相反的不等式, 则称之为反序的. 试证: $a_i,b_i$ 似序时 $$\bex \sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i\...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.9

设 $f(x)$ $\nearrow$ 连续 (当 $x\geq 0$ 时), $f(0)=0$, $a,b\geq 0$, 试证: $ab\leq af(a)+bf^{-1}(b)$. 证明: 由 Young 不等式, $$\bex ab\leq \int_0^a f(x)\rd x +\int_0^b f^{-1}(y)\rd y \leq af(a)+bf^{-1}(b).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.8

设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是正数, 且 $n\geq 1$. 证明: $$\bex \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq \frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.7

若 $u_1,u_2,\cdots,u_n\geq 0$, $u_1\cdot u_2\cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+\cdots+u_n\geq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.6

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数, $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\bex \int_a^b |f(x)f'(x)|\rd x\leq \frac{b-a}{4}\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 并且 $\dps{\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.5

试证: $$\bex 0