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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

2015-05-16 780

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简介： 设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0

设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0<p_n\nearrow+\infty$, 试证: $$\bex \vlm{n} \frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0. \eex$$

证明: 设 $\dps{S_n=\sum_{k=1}^na_k}$, 则 $\dps{\vlm{n}S_n=S}$, 且 $$\beex \bea \frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^n p_ka_k &=\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^n p_k(S_k-S_{k-1})\quad\sex{S_0=0}\\ &=\frac{1}{p_n}\sex{\sum_{k=1}^n p_kS_k-\sum_{k=0}^{n-1}p_{k+1}S_k}\\ &=\frac{1}{p_n}\sex{p_nS_n+\sum_{k=1}^{n-1} (p_k-p_{k+1})S_k}\\ &=S_n-\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^{n-1} (p_{k+1}-p_k)S_k,\\ \vlm{n}\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^n p_ka_k &=S-\vlm{n}\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^{n-1} (p_{k+1}-p_k)S_k\\ &=S-\vlm{n}\frac{(p_{n+1}-p_n)S_n}{p_{n+1}-p_n}\quad\sex{Stolz\mbox{ 公式}}\\ &=S-S=0. \eea \eeex$$

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证: (1).

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.22

设 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.6

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)\searrow$, $|f'(x)|\geq m>0$, 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{m}.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7

$f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x.

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_nk$.

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证: (1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛; (2).

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.11

证明: 若 $a_n>0$, $a_n\searrow 0$, 则 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 与 $\dps{\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\max\sed{n;a_n\geq 2^{-m}}$) 同时敛散.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

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