[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.15

$\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二项式系数, $A_n,G_n$ 分别表示它们的算术平均值与几何平均值. 试证: $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2,\quad \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{e}. \eex$$

证明: $$\bex A_n=\frac{C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n}{n+1}=\frac{2^n}{n+1}\ra \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2. \eex$$ $$\bex G_n=\sqrt[n+1]{C_n^0C_n^1\cdots C_n^n}\ra \sqrt[n]{G_n}=(C_n^0C_n^1\cdots C_n^n)^\frac{1}{n(n+1)}, \eex$$ $$\beex \bea \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}&=\exp\sez{\vlm{n} \frac{\sum_{k=0}^n \ln C_n^k}{n(n+1)}}\\ &=\exp\sez{ \frac{\sum_{k=0}^{n+1} \ln C_{n+1}^k -\sum_{k=0}^n \ln C_n^k}{(n+1)(n+2)-n(n+1) }}\\ &=\exp\sez{ \ln \frac{\sum_{k=0}^n \ln \frac{n+1}{n+1-k}}{2(n+1)} }\quad\sex{C_{n+1}^k /C_n^k=\frac{n+1}{n+1-k}}\\ &=\exp\sez{ \frac{1}{2}\vlm{n} \sex{ \sum_{k=0}^{n+1}\ln \frac{n+2}{n+2-k} -\sum_{k=0}^n \ln \frac{n+1}{n+1-k} } }\\ &=\exp\sed{ \frac{1}{2} \vlm{n}\sez{\ln (n+2)+\sum_{k=0}^n \ln\sex{\frac{n+2}{n+2-k}\cdot \frac{n+1-k}{n+1}} }}\\ &=\exp\sed{\frac{1}{2}\vlm{n} \sez{\ln(n+2)+\ln \frac{(n+2)^{n+1}(n+1)!}{(n+2)!(n+1)^{n+1}}}}\\ &=\exp\sed{\frac{1}{2}\vlm{n}\ln \sez{\sex{1+\frac{1}{n+1}}^{n+1}}}\\ &=\sqrt{e}. \eea \eeex$$