[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.7

设 $a_n=n^{n^{\alpha}}-1$, 讨论级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的敛散性.

解答: 当 $\al<-1$ 时, 由 $$\beex \bea \vlm{n}\frac{n^{n^\al}-1}{\frac{1}{n^\frac{1-\al}{2}}} &=\vlm{n}n^\frac{1-\al}{2}\sex{e^{n^\al\ln n}-1}\\ &=\vlm{n} n^\frac{1-\al}{2} \cdot n^\al \ln n\quad\sex{e^x-1\sim x,\ x\to 0}\\ &=\vlm{n}\frac{\ln n}{n^{-\frac{1+\al}{2}}}=0 \eea \eeex$$ 及比较判别法即知级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 当 $\al\geq -1$ 时, 由 $$\beex \bea \frac{n^{n^\al}-1}{\frac{1}{n^\frac{1-\al}{2}}} &\geq n^\frac{1-\al}{2} \sex{e^{n^\al\ln n}-1}\\ &\geq n^\frac{1-\al}{2} \cdot n^\al\ln n\quad\sex{e^x-1\geq x,\ x\geq 0}\\ &=n^\frac{1+\al}{2}\ln n\to \infty\ (n\to\infty) \eea \eeex$$ 及比较判别法即知原级数发散.