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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.17

2015-05-11 685

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简介： 已知积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$.

已知积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$. (华北电力学院)

解答: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x &=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{\sin x(t-1)+\sin x(1-t)}{x}\rd x\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}\sez{\sgn(t+1)+\sgn (1-t)}\\ &=\sedd{\ba{ll} 0,&|t|>1,\\ \cfrac{\pi}{4},&|t|=1,\\ \cfrac{\pi}{2},&|t|<1. \ea} \eea \eeex$$

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.24

设 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\dps{|f(x)|

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15

$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证: (1).

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

按牛顿二项式展开及代换 $x=\sin t$ 两种方法计算积分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上拦蓄, 且 $f'(x)\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20

设 $a_n>0$, $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0. \eex$$ 证明: 又题意, $na_n\searrow 0$.

张祖锦

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机器学习/深度学习

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$, 其中 $\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散. 解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1...

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.17

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