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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.9

2015-05-13 801

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简介： 证明: 若有

$\al>0$ , 使当

$n\geq n_0$ 时,

$\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ (a_n>0)}$ , 则级数

$\dps{\vsm{n}a_n\ (a_n>0)}$ 收敛; 若

$n\geq n_0$ 时, $\d...

证明: 若有 $\al>0$ , 使当 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ (a_n>0)}$ , 则级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ (a_n>0)}$ 收敛; 若 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\leq 1}$ , 则这级数发散 (对数判别法).

证明:

(1).

$\bex \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ra \ln \frac{1}{a_n}\geq \ln n^{1+\al} \ra a_n\leq \frac{1}{n^{1+\al}}\ (\al>0). \eex$

(2).

$\bex \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\leq 1\ra a_n\geq \frac{1}{n}. \eex$

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17

设在

$\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数

$f(x)>0$ , 且满足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求

$\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$ , 其中

$f(x)$ 可微, 且已知

$\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$ .

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

求证:

$\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ (

$n$ 为正整数) 在

$x\geq 0$ 上的最大值不超过

$\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$ .

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设

$f(x)$ 在

$(a,b)$ 内连续,

$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$ 试证

$f(x)$ 为线性函数.

张祖锦

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前端开发 rax

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

证明:

$\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时,

$\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$ . 证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x

张祖锦

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.9

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t\frac{2}{\pi}x,\ 0

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.27

设

$f(x)$ 是

$[0,2\pi]$ 上的凸函数,

$f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx\rd x\geq 0.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7

$f(x)\neq 0$ , 在

$[a,b]$ 上可微,

$f(a)=f(b)=0$ , 证明至少存在点

$c\in [a,b]$ , 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x.

张祖锦

858 0 0

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.17

设

$a_n>0$ (

$n=1,2,\cdots$ ) 且

$\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛,

$\dps{r_n=\sum_{k=n}^\infty a_k}$ . 试证: (1).

$\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{r_n}}$ 发散.

张祖锦

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Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列

$\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质:

$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$ 做出序列

$\sed{a_n}$ , 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_nk$.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.9

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