[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.24

简介: 设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:   (1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;   (2).

设 $\sed{n_k}$ 是自然数列 $\sed{n}$ 的子序列, 试证:

 

(1). 当 $n_k-n_{k-1}\geq 1$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛;

 

(2). 当 $n_k-n_{k-1}\leq g$ (常数) 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 发散;

 

(3). 当 $n_k-n_{k-1}\geq k^r\ (r>0)$ 时, $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n_k}}$ 收敛.

 

证明:

 

(1). 由 $$\bex n_k\geq n_{k-1}+k\geq n_{k-2}+(k-1)+k\geq \cdots \geq 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2} \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq 2\vsm{k}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}. \eex$$

 

(2). 由 $$\bex n_k\leq n_{k-1}+g\leq \cdots \leq n_1+(n-1)g \eex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k}\geq \vsm{k}\frac{1}{n_1+(n-1)g}=+\infty. \eex$$

 

(3). 由 $$\beex \bea n^r&\geq 1^r+2^r+\cdots +k^r\geq 1+\sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i i^r\rd x \geq 1+ \sum_{i=2}^k \int_{i-1}^i x^r\rd r\\ & =1+\sum_{i=2}^k \frac{i^{r+1}-(i-1)^{r+1}}{r+1} =1+\frac{k^{r+1}+1}{r+1} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \vsm{k}\frac{1}{n_k} \leq \vsm{k}\frac{1}{1+\frac{k^{r+1}-1}{r+1}} <\infty. \eex$$

目录
相关文章
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.12
证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 则 $f(x)\equiv 0$.
808 0
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.14
设 $a_n\neq 0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a\ (a\neq 0)}$. 求证: 下列两级数 $$\bex \vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\quad \vsm{n}\sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \eex$$ 同时收敛或同时发散.
620 0
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.12
$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收敛. 问能否断定: $\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 为什么? (南开大学)   解答: 肯定.
625 0
|
机器学习/深度学习 Perl
|
Ruby
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.10
证明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.   证明: 由 $$\beex \bea 0&\leq \int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=-\frac{...
878 0
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界.
962 0
|
机器学习/深度学习
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20
设 $a_n>0$, $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0. \eex$$   证明: 又题意, $na_n\searrow 0$.
875 0
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8
设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k.
781 0
|
机器学习/深度学习 Ruby
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.14
若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm0,\ \exists\ T> 1,\st$ $$\beex \bea {\color{red} t>T}&\ra \sev{\frac...
853 0