[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.10

证明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.

证明: 由 $$\beex \bea 0&\leq \int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=-\frac{1}{x}\int_0^\infty \frac{1}{1+t^2}\rd e^{-tx}\\ &=-\frac{1}{x}\sez{\frac{e^{-tx}}{1+t^2}|_{t=0}^{t=\infty} -\int_0^\infty \frac{-2te^{-tx}}{(1+t^2)^2}\rd x}\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x}\frac{te^{-tx}}{(1+t^2)^2}\rd t\\ &\leq \frac{1}{x} \eea \eeex$$ 即知原极限 $=0$.