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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

2015-05-16 724

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简介： 序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_nk$.

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_n<\infty,\quad \vsm{n}a_nb_n=+\infty. \eex$$ (国外赛题)

解答: $\forall\ k\in\bbN$, 由 $\dps{\vlm{n}b_n=+\infty}$ 知 $\exists\ \sed{n_k}\subset \sed{n},\st b_{n_k}>k$. 取 $$\bex a_n=\sedd{\ba{ll} \frac{1}{k^2},&n=n_k,\\ 0,&n\neq n_k \ea} \eex$$ 即可.

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.24

设 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\dps{|f(x)|

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.11

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

按牛顿二项式展开及代换 $x=\sin t$ 两种方法计算积分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13

证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. 证明: 对 $x$ 求导有 $$\bex f(x+1)-f(x)=0, \eex$$ 而 $f$ 为 $1$ 周期函数.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.28

设 $k>0$, $a>0$. 证明: (1). $\dps{\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛; (2). $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.18

设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足: (1). $f(x)>0$; (2). $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

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