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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.10

2015-05-13 578

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简介： 序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题) 证明: 由 $\dps{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\leq 0}$ 及 $$\beex \bea \s...

序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题)

证明: 由 $\dps{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\leq 0}$ 及 $$\beex \bea \sum_{k=1}^n \sex{1-\frac{x_k}{x_{k+1}}} &\leq \sum_{k=1}^n \frac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}} \leq \frac{1}{x_k}\sum_{k=1}^n (x_{k+1}-x_k) =\frac{1}{x_1}(x_{n+1}-x_1)\\ &\leq \frac{1}{x_1}\sex{\sup_{n\geq 1}x_n-x_1} \eea \eeex$$ 即知结论成立.

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13

证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. 证明: 对 $x$ 求导有 $$\bex f(x+1)-f(x)=0, \eex$$ 而 $f$ 为 $1$ 周期函数.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.18

设 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学) 解答: 由 $$\beex \bea 1&=\lim_{x\to 0}\...

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t

张祖锦

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张祖锦

Windows

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.9

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t\frac{2}{\pi}x,\ 0

张祖锦

896 0 0

张祖锦

前端开发 rax

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

证明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$. 证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散. 解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1...

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

(1). 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛; (2). 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.10

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