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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.10

2015-05-13 549

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简介： 序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题) 证明: 由 $\dps{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\leq 0}$ 及 $$\beex \bea \s...

序列 $\sed{x_n}$ 是正项单调递增并且有界, 证明级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}}}$ 收敛. (国外赛题)

证明: 由 $\dps{1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\leq 0}$ 及 $$\beex \bea \sum_{k=1}^n \sex{1-\frac{x_k}{x_{k+1}}} &\leq \sum_{k=1}^n \frac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}} \leq \frac{1}{x_k}\sum_{k=1}^n (x_{k+1}-x_k) =\frac{1}{x_1}(x_{n+1}-x_1)\\ &\leq \frac{1}{x_1}\sex{\sup_{n\geq 1}x_n-x_1} \eea \eeex$$ 即知结论成立.

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x.

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张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.9

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t\frac{2}{\pi}x,\ 0

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

证明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$. 证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

(1). 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛; (2). 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.17

设 $a_n>0$ ($n=1,2,\cdots$) 且 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $\dps{r_n=\sum_{k=n}^\infty a_k}$. 试证: (1). $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{r_n}}$ 发散.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27

求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t}{t^2+n^2}+\cdots}}$.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_nk$.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8

设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.7

设 $a_n=n^{n^{\alpha}}-1$, 讨论级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的敛散性. 解答: 当 $\al

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.6

证明下列级数收敛: (1). $\dps{\vsm{n}\sez{\frac{1}{n}-\ln\sex{1+\frac{1}{n}}}}$; (2). $\dps{\vsm{n}\sez{e-\sex{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}}}}$.

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.10

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