[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.18

设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足:

(1). $f(x)>0$;

(2). $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0<m<1$. 任取 $a_0$, 定义 $a_n=\ln f(a_{n-1})$, $n=1,2,\cdots$. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}(a_n-a_{n-1})}$ 绝对收敛. (西安电子科技大学)

证明: 由 $$\bex |a_{n+1}-a_n| =\sev{\ln f(a_n)-\ln f(a_{n-1})} =\sev{\frac{f'(\xi_n)}{f(\xi_n)}}\cdot |a_n-a_{n-1}| \leq m|a_n-a_{n-1}| \eex$$ 知 $$\bex \frac{|a_{n+1}-a_n|}{|a_n-a_{n-1}|}\leq m<1. \eex$$ 据比值判别法即知结论成立.