设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数, $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\bex \int_a^b |f(x)f'(x)|\rd x\leq \frac{b-a}{4}\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 并且 $\dps{\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
证明: 设 $$\bex F(x)=\int_a^x |f'(t)|\rd t,\quad G(x)=\int_x^b |f'(t)|\rd t, \eex$$ 则 $$\bex x\in \sez{a,\frac{a+b}{2}}\ra |f(x)|=\sev{\int_a^x f'(t)\rd t}\leq F(x),\quad x\in \sez{\frac{a+b}{2},b}\ra |f(x)|\leq G(x). \eex$$ 而 $$\beex \bea \int_a^b |f(x)f'(x)|\rd x &=\int_a^\frac{a+b}{2} +\int_{\frac{a+b}{2}}^b |f(x)f'(x)|\rd x\\ &\leq \int_a^\frac{a+b}{2}F(x)F'(x)\rd x +\int_\frac{a+b}{2}^b G(x)G'(x)\rd x\\ &=\frac{1}{2}F^2\sex{\frac{a+b}{2}} +\frac{1}{2}G^2\sex{\frac{a+b}{2}}\\ &\leq \frac{1}{2}\int_a^\frac{a+b}{2}1^2\rd x\cdot \int_a^\frac{a+b}{2}f'^2(x)\rd x +\frac{1}{2}\int_\frac{a+b}{2}^b 1^2\rd x\cdot \int_\frac{a+b}{2}^b f'^2(x)\rd x\\ &=\frac{b-a}{4}\int_a^bf'^2(x)\rd x. \eea \eeex$$ 取适合 $f(a)=f(b)=0$ 的连续可微函数列 $f(x)$ 趋于仅有一个角点的函数 $$\bex \tilde f(x)=\sedd{\ba{ll} c(x-a),\quad x\in \sez{a,\frac{a+b}{2}}\\ -c(x-b),\quad x\in \sez{\frac{a+b}{2},b} \ea}\quad\sex{c\neq 0} \eex$$ 即知 $\dps{\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
