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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.13

2015-05-13 702

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简介： 证明级数 $$\bex 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \eex$$ 发散. 证明: 由 $$\beex \bea |S_{6n}-S_{3n}|&=\sev{\sum_{k=n+1}...

证明级数 $$\bex 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \eex$$ 发散.

证明: 由 $$\beex \bea |S_{6n}-S_{3n}|&=\sev{\sum_{k=n+1}^{2n}\sex{\frac{1}{3k-2}+\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k}}}\\ &>\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{3k-2}\quad\sex{\frac{1}{3k-1}>\frac{1}{3k}}\\ &>\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{3k}\\ &>\frac{1}{3\cdot 2n}\cdot n=\frac{1}{6} \eea \eeex$$ 及 Cauchy 收敛准则即知结论成立.

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.22

设 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$.

张祖锦

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张祖锦

关系型数据库 RDS

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.24

设 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\dps{|f(x)|

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13

证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. 证明: 对 $x$ 求导有 $$\bex f(x+1)-f(x)=0, \eex$$ 而 $f$ 为 $1$ 周期函数.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

按牛顿二项式展开及代换 $x=\sin t$ 两种方法计算积分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散. 解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1...

张祖锦

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张祖锦

Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.11

证明: 若 $a_n>0$, $a_n\searrow 0$, 则 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 与 $\dps{\vsm{m}p_m2^{-m}}$ ($p_m=\max\sed{n;a_n\geq 2^{-m}}$) 同时敛散.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.3

证明级数 $$\bex 1 +\frac{1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{5}} +\frac{1}{\sqrt{7}} -\frac{1}{\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{9}} +\frac{1}{\sqrt{...

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5

证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$. 证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中没有 $9$ 的个数为 $8\cdot 9^{m-1}$ (除首位可能为 $1,2,\cdo...

张祖锦

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.13

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