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Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
3.算法代码实现：
1 const int MAXINT = 32767; 2 const int MAXNUM = 10; 3 int dist[MAXNUM]; 4 int prev[MAXNUM]; 5 6 int A[MAXUNM][MAXNUM]; 7 8 void Dijkstra(int v0) 9 { 10 bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中 11 int n=MAXNUM; 12 for(int i=1; i<=n; ++i) 13 { 14 dist[i] = A[v0][i]; 15 S[i] = false; // 初始都未用过该点 16 if(dist[i] == MAXINT) 17 prev[i] = -1; 18 else 19 prev[i] = v0; 20 } 21 dist[v0] = 0; 22 S[v0] = true; 23 for(int i=2; i<=n; i++) 24 { 25 int mindist = MAXINT; 26 int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 27 for(int j=1; j<=n; ++j) 28 if((!S[j]) && dist[j]<mindist) 29 { 30 u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 31 mindist = dist[j]; 32 } 33 S[u] = true; 34 for(int j=1; j<=n; j++) 35 if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT) 36 { 37 if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径 38 { 39 dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist 40 prev[j] = u; //记录前驱顶点 41 } 42 } 43 } 44 }
4.算法实例
先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
Floyd算法
1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示
给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点
相应计算方法如下：
最后A3即为所求结果
3.算法代码实现
1 typedef struct 2 { 3 char vertex[VertexNum]; //顶点表 4 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 5 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 6 }MGraph; 7 8 void Floyd(MGraph g) 9 { 10 int A[MAXV][MAXV]; 11 int path[MAXV][MAXV]; 12 int i,j,k,n=g.n; 13 for(i=0;i<n;i++) 14 for(j=0;j<n;j++) 15 { 16 A[i][j]=g.edges[i][j]; 17 path[i][j]=-1; 18 } 19 for(k=0;k<n;k++) 20 { 21 for(i=0;i<n;i++) 22 for(j=0;j<n;j++) 23 if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) 24 { 25 A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; 26 path[i][j]=k; 27 } 28 } 29 }
算法时间复杂度:O(n3)
