1. 从RNN到LSTM

　　　　在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态h(t)h(t)。

　　　　如果我们略去每层都有的o(t),L(t),y(t)o(t),L(t),y(t)，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

　　　　图中可以很清晰看出在隐藏状态h(t)h(t)由x(t)x(t)和h(t−1)h(t−1)得到。得到h(t)h(t)后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的h(t+1)h(t+1)。

　　　　由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

　　　　可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。

 2. LSTM模型结构剖析

　　　　上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

　　　　从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态h(t)h(t)，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为C(t)C(t)。如下图所示：

　　　　除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

 2.1 LSTM之遗忘门

　　　　遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

　　　　图中输入的有上一序列的隐藏状态h(t−1)h(t−1)和本序列数据x(t)x(t)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出f(t)f(t)。由于sigmoid的输出f(t)f(t)在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：

　　　　其中Wf,Uf,bfWf,Uf,bf为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σσ为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

　　　　输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

　　　　从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为i(t)i(t),第二部分使用了tanh激活函数，输出为a(t)a(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：

　　　　其中Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σσ为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

　　　　在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态C(t)C(t)。我们来看看从细胞状态C(t−1)C(t−1)如何得到C(t)C(t)。如下图所示：

　　　　细胞状态C(t)C(t)由两部分组成，第一部分是C(t−1)C(t−1)和遗忘门输出f(t)f(t)的乘积，第二部分是输入门的i(t)i(t)和a(t)a(t)的乘积，即：

　　　　其中，⊙⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

　　　　有了新的隐藏细胞状态C(t)C(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

　　　　从图中可以看出，隐藏状态h(t)h(t)的更新由两部分组成，第一部分是o(t)o(t), 它由上一序列的隐藏状态h(t−1)h(t−1)和本序列数据x(t)x(t)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态C(t)C(t)和tanh激活函数组成, 即：

　　　　通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

　　　　现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态h(t),C(t)h(t),C(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,boWf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo这些参数。

　　　　前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

　　　　1）更新遗忘门输出：

　　　　2）更新输入门两部分输出：

　　　　3）更新细胞状态：

　　　　4）更新输出门输出：

　　　　5）更新当前序列索引预测输出：

4.  LSTM反向传播算法推导关键点

　　　　有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

　　　　在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态h(t)h(t)的梯度δ(t)δ(t)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态h(t)h(t)和C(t)C(t)。这里我们定义两个δδ，即：

　　　　反向传播时只使用了δ(t)CδC(t),变量δ(t)hδh(t)仅为帮助我们在某一层计算用，并没有参与反向传播，这里要注意。如下图所示：

　　　　而在最后的序列索引位置ττ的δ(τ)hδh(τ)和 δ(τ)CδC(τ)为：

　　　　接着我们由δ(t+1)CδC(t+1)反向推导δ(t)CδC(t)。

　　　　δ(t)hδh(t)的梯度由本层的输出梯度误差决定，即：

　　　　而δ(t)CδC(t)的反向梯度误差由前一层δ(t+1)CδC(t+1)的梯度误差和本层的从h(t)h(t)传回来的梯度误差两部分组成，即：

　　　　有了δ(t)hδh(t)和δ(t)CδC(t)， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出WfWf的梯度计算过程，其他的Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,cUf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。

5. LSTM小结

　　　　LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

本文转自刘建平Pinard博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6519110.html，如需转载请自行联系原作者