一，什么是贝塞尔曲线

百度百科诠释：

   贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。

说太多概念也没什么用，直接看公式吧：

1.线性公式：

给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

一阶曲线就是根据t来的线性插值，还不明白，来看张图你应该就明白了；

（网图）

2.二次方公式:

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）公式推导：由（P0，P1），（P1，P2）分别求线性公式所得的结果P0‘ 和 P1‘再带入线性公式，整理所得即为二次公式：

P0，P1所求：

P1，P2所求：

P0，P1，P2二次方公式：

简化所得：

3.三次方公式

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

其公式为：

【推导方式（二次方公式同理）：（P0,P1,P2）,(P1,P2,P3)分别求二次方公式，所得结果在带入线性公式，简化后即为上式】

4.一般参数公式

N阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点P0、P1、…、Pn，其公式为：

（百度百科图）

二，在UNITY中的运用

1.公式转换为代码：

public class BezierCurveTest
{    
    /// <summary>
    /// 线性公式
    /// </summary>
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, float t)
    {
        return (1 - t) * p0 + t * p1;
    }

    /// <summary>
    /// 二次方公式
    /// </summary>
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t)
    {
        Vector3 p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;
        Vector3 p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;

        Vector3 result = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;

        return result;
    }

    /// <summary>
    /// 三次方公式
    /// </summary>
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t)
    {
        Vector3 result;

        Vector3 p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;
        Vector3 p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;
        Vector3 p2p3 = (1 - t) * p2 + t * p3;

        Vector3 p0p1p2 = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;
        Vector3 p1p2p3 = (1 - t) * p1p2 + t * p2p3;

        result = (1 - t) * p0p1p2 + t * p1p2p3;
        return result;
    }
}

2.举个例子

看了半天公式也转换成代码了，那么它到底用的呢？
看个例子：在Unity中绘制一条曲线

搭建场景如下图:

创建一个空物体作为父物体并挂载下面脚本，然后创建四个cube作为曲线控制点，即可在Scene视图下看到上图效果

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using UnityEngine;

public class BezierCurveTest : MonoBehaviour
{
    // 点的半径
    public float radius = 1;
    // 曲线取点的密度
    public int densityCurve = 1000;
    /// <summary>
    /// 绘制曲线控制点 -- 此脚本的子物体
    /// </summary>
    public List<GameObject> ControlPointList = new List<GameObject>();
    /// <summary>
    /// 当前绘制曲线的所有点
    /// </summary>
    public List<Vector3> CurvePointList = new List<Vector3>();

    /// <summary>
    /// 编辑状态下子自动绘制曲线
    /// </summary>
    private void OnDrawGizmos()
    {
        // 绘制前重新添加控制点
        ControlPointList.Clear();
        foreach (Transform item in transform)
        {
            ControlPointList.Add(item.gameObject);
        }

        // Select 取每个点的position作为新的元素
        List<Vector3> controlPointPos = ControlPointList.Select(point => point.transform.position).ToList();
        // 经过三阶运算返回的需要绘制的点
        var points = GetDrawingPoints(controlPointPos, densityCurve);

        Vector3 startPos = points[0];
        CurvePointList.Clear();
        CurvePointList.Add(startPos);
        for (int i = 1; i < points.Count; i++)
        {
            if (Vector3.Distance(startPos, points[i]) >= radius)
            {
                startPos = points[i];
                CurvePointList.Add(startPos);
            }
        }

        //绘制曲线
        Gizmos.color = Color.blue;
        foreach (var item in CurvePointList)
        {
            Gizmos.DrawSphere(item, radius * 0.5f);
        }

        //绘制曲线控制点连线
        Gizmos.color = Color.red;
        for (int i = 0; i < controlPointPos.Count - 1; i++)
        {
            Gizmos.DrawLine(controlPointPos[i], controlPointPos[i + 1]);
        }

    }

    /// <summary>
    /// 获取绘制点
    /// </summary>
    /// <param name="controlPoints"></param>
    /// <param name="segmentsPerCurve"></param>
    /// <returns></returns>
    public List<Vector3> GetDrawingPoints(List<Vector3> controlPoints, int segmentsPerCurve)
    {
        List<Vector3> points = new List<Vector3>();
        // 下一段的起始点和上段终点是一个，所以是 i+=3
        for (int i = 0; i < controlPoints.Count - 3; i += 3)
        {
        
            var p0 = controlPoints[i];
            var p1 = controlPoints[i + 1];
            var p2 = controlPoints[i + 2];
            var p3 = controlPoints[i + 3];
            
            for (int j = 0; j <= segmentsPerCurve; j++)
            {
                var t = j / (float)segmentsPerCurve;
                points.Add(CalculateBezierPoint(t, p0, p1, p2, p3));
            }
        }
        return points;
    }

    // 三阶公式
    Vector3 CalculateBezierPoint(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3)
    {
        Vector3 result;

        Vector3 p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;
        Vector3 p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;
        Vector3 p2p3 = (1 - t) * p2 + t * p3;

        Vector3 p0p1p2 = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;
        Vector3 p1p2p3 = (1 - t) * p1p2 + t * p2p3;

        result = (1 - t) * p0p1p2 + t * p1p2p3;
        return result;
    }

}

PS：后续可以根据需求调整点的半径（radius ）和曲线取点的密度（densityCurve ）进行调整。

三，在实际项目中应用

根据上述示例，很容易想到在指定按照指定路径移动的情况下可以使用（比如：祖玛，保卫萝卜，塔防类）

下面这个Demo制作了一个可视化操作生成曲线点的工具；

实现原理：和二项中一致，我添加了一键保存配置文件扩展，它可以帮助你快速的实现关卡路径的制作，将所得的坐标点保存到本地文件，用的时候在拿出来用就可以了；

场景搭建：

实现效果如下：

Demo链接