详解Batch Normalization并基于PyTorch实操（附代码）

0. 前言

按照国际惯例，首先声明：本文只是我自己学习的理解，虽然参考了他人的宝贵见解，但是内容可能存在不准确的地方。如果发现文中错误，希望批评指正，共同进步。

本文初创于2022-02-27，由于存在纰漏，以及这一年多的持续学习有一丢丢积累，于2023-09-10进行大修。

本文将从Batch Normalization的数学定义入手，讲解Batch Normalization的计算过程，然后说明Batch Normalization在深度学习中的作用。

1. Batch Normalization的数学定义

1.1 Normalization的表达式

首先需要讲解Normalization的定义。Normalization是对矩阵（张量）的一种操作：这种操作会使原来的张量变成一个均值为0，方差为1的新的张量，其数学表达式为：

其中 x 为Normalization操作前的数据（原始数据），E [ x ] 为 x的平均值，Var [ x ]为 x 的平方差， y 为Normalization操作后的数据。

在工程上，为了避免Var [ x ] =0导致分母为0，还会在分母上加一个很小的值 ϵ（例如 10^{-5} ）：

1.2 Batch Normalization的表达式

Batch Normalization在Normalization的基础上增加了缩放因子 γ 和偏移量 β，这样其数学表达式就变成了：

这里就出现了一个难点：缩放因子 γ 和偏移量 β如何计算？

其实缩放因子 γ 和偏移量 β都是可以学习的参数，其默认值为 γ = 1 ， β = 0 ，即不进行缩放和偏移。

Pytorch源码注释 :math:\gamma and :math:\beta are learnable parameter vectors of size C (where C is the input size). By default, the elements of :math:\gamma are set to 1 and the elements

这样 γ和 β 可以看作是关于  x的变量，在反向传播时也要计算损失函数 L对 γ 和 β的偏导，并对其进行优化：

特殊地，如果 ，那就等于是原始数据什么都没处理过，还是原来模样。

2. Batch Normalization的作用

Batch Normalization应用于深度学习模型中，它的作用大体可以包括以下几个方面：

1. 改善梯度消失/爆炸问题：在深层神经网络中，前面层的梯度经过多次传递后会变得非常小或非常大，从而导致网络收敛速度慢或者不收敛。通过Batch Normalization，可以将每个特征值归一化到均值为0，方差为1的标准正态分布，从而避免梯度消失/爆炸问题。
   
2. 加速网络收敛：Batch Normalization可以加速网络的收敛速度，因为它可以使得每个神经元的输入分布更加稳定，从而使得网络更容易学习有效的特征。
   
3. 提高模型泛化能力：Batch Normalization可以减少由于数据分布的变化导致的模型性能下降，从而提高模型的泛化能力。
   
4. 减少过拟合：Batch Normalization可以提高网络的鲁棒性，使得模型对输入的微小变化更加稳定，从而减少过拟合的风险。
   

3. PyTorch实战

我们可以计算如下简单矩阵的Batch Normalization操作后的数据。

在PyTorch中使用nn.BatchNorm2d方法完成矩阵的Batch Normalization操作，它的常用参数如下：

• num_features: 输入特征的数量，通常为输入数据的通道数。
• eps: 防止除以0的小值，缺省值为1e-5。
• momentum: 动量，通常取较小的值（如0.1），用于计算滑动平均值。
• affine: 是否对输出进行仿射变换，默认为True表示进行仿射变换。
• track_running_stats: 是否在训练时计算并跟踪运行时统计量，缺省值为True。

一般在使用nn.BatchNorm2d时，通常只需要设置num_features参数即可，其他参数可以使用默认值。

import torch
a = torch.tensor([[[[1,1],
                  [-1,1]]]],dtype=torch.float32)
bn = torch.nn.BatchNorm2d(1) 
b = bn(a)
print(b)

输出为：

tensor([[[[ 0.5773,  0.5773],
          [-1.7320,  0.5773]]]], grad_fn=<NativeBatchNormBackward>)

与笔算结果一致：

这样，关于Batch Normalization就说明完了~