矩阵分析 (五) 矩阵的分解

简介: 矩阵分析 (五) 矩阵的分解

矩阵的对角分解


  • 定理5.1A 为正规矩阵的充要条件是:存在酉矩阵Q ,使得:

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  1. A 厄米特矩阵的充要条件是:A AA的特征值全是实数
  2. A 反厄米特矩阵的充要条件是:A AA的特征值为零或纯虚数
  3. A 酉矩阵的充要条件是:A AA的每个特征值λ i \lambda_{i}λi的模∣ λ i ∣ = 1


矩阵的三角分解


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如果A 可以分解为A = L R,其中L 是对角线元素为1的下三角矩阵(称为单位下三角矩阵),R 为上三角矩阵,则称之为A Doolittle分解

  如果A可以分解成A = L R R RR是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵),则称之为A Crout分解

  如果A 可以分解成A = L D R A,其中L , D , R L,D,RLDR分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵,则称之为A LDR分解

  • 如果A ∈ C n × n 是正定的厄米特矩阵,则存在下三角矩阵G GG使得A = G G H ,称之为A Cholesky分解


矩阵的满秩分解


  这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。


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舒尔定理与矩阵的QR分解


  舒尔(Schur)定理在理论上很重要,它是很多重要定理的出发点。而矩阵的Q R 分解在数值化代数中起着重要的作用,是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。


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