乘积线性化问题探析-阿里云开发者社区

乘积线性化问题探析

2024-05-08 31

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简介： 乘积线性化问题探析

摘要：很多同学都碰到模型中含有两个变量乘积，在采用matlab进行求解时，会因为非线性而求解失败，本次分享三类编程实例，帮助理解如何实现乘积线性化。

一、两个变量均是连续性变量

这种问题是最复杂的，应用yalmip+求解器直接进行求解不可行，举个电力专业的例子，以购电成本最低为目标，购电成本是电价和购电量的乘积（这里假定电价只有上下限约束），编程实例如下：

clc;clear all;
 
cost=sdpvar(1,24,'full');%电价变量
 
p=sdpvar(1,24,'full');%电量变量
 
%约束
 
Constraints=[];
 
Constraints=[Constraints,sum(p)==300];%总电量
 
Constraints=[Constraints,0<=p<=30];%单个时刻电量
 
Constraints=[Constraints,0.9<=cost<=1.1];%电价范围约束
 
objective=sum(cost.*p);
 
ops=sdpsettings('verbose', 1, 'solver', 'cplex');
 
sol=optimize(Constraints,objective,ops);
 
%分析错误标志
 
if sol.problem == 0
 
    disp('succcessful solved');
 
else
 
    disp('error');
 
    yalmiperror(sol.problem)
 
end

毫不意外，这样是求解不出来的，出现下图的报错信息。

这种情况如何求解详见第三部分。

二、一个是离散型变量一个是连续变量

这种问题可以通过模型转化的方式进行求解，还是举上面的例子，电价作为离散型变量，一般按照峰谷平的分时电价方式，这种方式更符合实际情况，假设用电客户可以根据需要自行设定每个时段电价，但是要满足峰谷平电价分别对应的小时数，具体模型目标为：

上式中，cost代表电价，为1*T的向量，P代表购电量，为T*1的向量，能够看出来，通过矩阵相乘就得到购电成本这一目标函数。

下面进行模型转换，定义3*T的01变量ucost，代表电价选择的状态变量，第一行到第三行分别代表选择谷平峰电价，如某列（某时刻）第一行为1，其他行为0，则代表选择谷时电价。

定义离散型电价costi=[0.9 1.05 1.1]为离散型电价常数，则上述目标模型可转化为：

这样转化之后就得到了01变量和连续性变量的乘积形式了，可以采用求解器进行求解或者采用如下线性化方式进行再次转化。

实例：用电客户存在灵活性调度负荷和基础负荷两部分，综合考虑整体购电成本，编程如下：

clc;clear all;
 
FH1=[2084,1933,1782,1657,1564,1612,1982,2189,2412,2729,2905,3096,3189,3073,3000,2917,3149,3355,3526,3620,3715,3276,2911,2309];
 
ucost=binvar(3,24,'full');%电价变量
 
p=sdpvar(1,24,'full');%灵活性负荷变量
 
%约束
 
cost=[0.9 1.05 1.1];
 
Constraints=[];
 
Constraints=[Constraints,sum(p)==500];%总可转移电量
 
Constraints=[Constraints,0<=p<=50];%单个时段灵活性负荷约束
 
Constraints=[Constraints,sum(ucost)==1];%每个时刻只能选择一种电价
 
Constraints=[Constraints,sum(ucost(1,:))==6];%谷时电价小时数
 
Constraints=[Constraints,sum(ucost(2,:))==10];%平时电价小时数
 
Constraints=[Constraints,sum(ucost(3,:))==8];%峰时电价小时数
 
objective=sum(cost*ucost*(FH1+p)');
ops=sdpsettings('verbose', 1, 'solver', 'cplex');
sol=optimize(Constraints,objective,ops);
%分析错误标志
if sol.problem == 0
    disp('succcessful solved');
else
    disp('error');
    yalmiperror(sol.problem)
end
%结果
figure;
plot(value(cost*ucost),'m-','LineWidth',1.2)
grid on
ylim([0.8 1.2])
xlabel('时间');
ylabel('电价');
figure;
plot(FH1+value(p),'r-','LineWidth',1.2);
hold on
plot(FH1,'b-*','LineWidth',1.2);
legend('优化后负荷','基础负荷');
grid on