【代数学作业5】理想的分解：高斯整数环中理想的结构，并根据其范数和素数的性质进行分解

【代数学作业5】理想的分解

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• 题目1

• 相关概念
• 题解分析

• 1. ( 1 + 3 ) = ( 1 − 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})(1+3)=(1−3)
• 2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 − 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3})(4+3)=(4−3)
• 3. ( 33 , 7 − 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3})(33,7−33)=(4+33)
• 4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3})(13,7+53)=(4+3)

• 题解

• 题目2

• 相关概念
• 题解

• 1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想
• 2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解

写在最前面

这些分解展示了在高斯整数环中理想的结构，以及如何根据其范数和素数的性质进行分解。

题目1

令域扩展 K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3})K=Q(3)，证明以下等式在 O K \mathcal{O}_KOK（K KK 的整环）中的成立：

1. ( 1 + 3 ) = ( 1 − 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})(1+3)=(1−3)
2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 − 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3})(4+3)=(4−3)
3. ( 33 , 7 − 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3})(33,7−33)=(4+33)
4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3})(13,7+53)=(4+3)

相关概念

1. 域扩展（Field Extension）: 如果有两个域 F FF 和 K KK，且 F ⊆ K F \subseteq KF⊆K，则称 K KK 是 F FF 的一个域扩展。在本题中，K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3})K=Q(3) 表示包含所有形式为 a + b 3 a + b\sqrt{3}a+b3（其中 a , b ∈ Q a, b \in \mathbb{Q}a,b∈Q）的数的域，这是有理数域 Q \mathbb{Q}Q 的一个扩展。
   
2. 整环（Ring of Integers）: 一个整环是一种特殊的环，它是交换的，有单位元素，且没有零因子。对于数域 K KK，其整环 O K \mathcal{O}_KOK 是 K KK 中所有代数整数的集合。代数整数是指满足某个以整数为系数的首一多项式（其最高次项系数为1）的方程的根。
   
3. 理想（Ideal）: 在环论中，一个理想是指一个环中的特定子集，它可以通过环的操作与环中的其他元素相结合而不离开这个子集。
   

题解分析

1. ( 1 + 3 ) = ( 1 − 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})(1+3)=(1−3)

要证明这个等式，我们需要找到一个数 α \alphaα 使得 α ( 1 − 3 ) = 1 + 3 \alpha(1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}α(1−3)=1+3。我们可以尝试使用数 − 2 − 3 -2 - \sqrt{3}−2−3 和 − 2 + 3 -2 + \sqrt{3}−2+3：

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这说明 ( 1 + 3 ) (1 + \sqrt{3})(1+3) 可以由 ( 1 − 3 ) (1 - \sqrt{3})(1−3) 生成，反之亦然。因此，( 1 + 3 ) = ( 1 − 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})(1+3)=(1−3)。

2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 − 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3})(4+3)=(4−3)

要证明这个不等式，我们需要证明没有数 α \alphaα 使得 α ( 4 − 3 ) = 4 + 3 \alpha(4 - \sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3}α(4−3)=4+3。假设存在这样的数 α = a + b 3 \alpha = a + b\sqrt{3}α=a+b3，我们得到：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (a + b\sqrt{3}…

通过比较实部和虚部，我们得到：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ 4a + 3b &= 4 \…

解这个方程组，我们发现没有符合条件的整数解。因此，( 4 + 3 ) ≠ ( 4 − 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3})(4+3)=(4−3)。

3. ( 33 , 7 − 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3})(33,7−33)=(4+33)

要证明这个等式，我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先，我们找到一个数 α \alphaα 使得 α ( 33 ) + β ( 7 − 3 3 ) = 4 + 3 3 \alpha(33) + \beta(7 - 3\sqrt{3}) = 4 + 3\sqrt{3}α(33)+β(7−33)=4+33。通过解方程，我们发现：

( − 2 + 3 ) 33 + 10 ( 7 − 3 3 ) = 4 + 3 3 (-2+ \sqrt{3}) 33 + 10(7 - 3 \sqrt{3}) = 4 + 3 \sqrt{3}(−2+3)33+10(7−33)=4+33

这说明 4 + 3 3 4 + 3 \sqrt{3}4+33 在 ( 33 , 7 − 3 3 ) (33, 7 - 3 \sqrt{3})(33,7−33) 中。接着，我们需要证明 33 3333 和 7 − 3 3 7 - 3 \sqrt{3}7−33 可以由 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3})(4+33) 生成。通过一些计算，我们发现：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (-12 + 9 \sqrt…

这说明 33 3333 和 7 − 3 3 7 - 3 \sqrt{3}7−33 都在 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3})(4+33) 中。因此，( 33 , 7 − 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3})(33,7−33)=(4+33)。

4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3})(13,7+53)=(4+3)

同样，要证明这个等式，我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先，我们找到一个数 α \alphaα 使得 α ( 13 ) + β ( 7 + 5 3 ) = 4 + 3 \alpha(13) + \beta(7 + 5\sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3}α(13)+β(7+53)=4+3。通过解方程，我们发现：

( − 1 − 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( − 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 (-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3}) + (-2+\sqrt{3}) 13 = 4 + \sqrt{3}(−1−3)(7+53)+(−2+3)13=4+3

这说明 4 + 3 4 + \sqrt{3}4+3 在 ( 13 , 7 + 5 3 ) (13, 7 + 5 \sqrt{3})(13,7+53) 中。接着，我们需要证明 13 1313 和 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3}7+53 可以由 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3})(4+3) 生成。通过一些计算，我们发现：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (4 - \sqrt{3})…

这说明 13 1313 和 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3}7+53 都在 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3})(4+3) 中。因此，( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3})(13,7+53)=(4+3)。

题解

1. ∵ ( − 2 − 3 ) ( 1 − 3 ) = 1 + 3 . ( − 2 + 3 ) ( 1 + 3 ) = 1 − 3 . \because \begin{aligned} & (-2-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3} . \\ & (-2+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1-\sqrt{3} . \end{aligned}∵(−2−3)(1−3)=1+3.(−2+3)(1+3)=1−3.∴ ( 1 + 3 ) 生 成 元 在 ( 1 − 3 ) 中 ， ( 1 − 3 ) 生 成 元 在 ( 1 + 3 ) 中 。 \therefore(1+\sqrt{3}) 生成元在 (1-\sqrt{3}) 中， (1-\sqrt{3}) 生成元在 (1+\sqrt{3}) 中 。∴(1+3)生成元在(1−3)中，(1−3)生成元在(1+3)中。∴ ( 1 + 3 ) = ( 1 − 3 ) \therefore(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})∴(1+3)=(1−3)
2. ∵ { 4 a + 3 b = 4 a + 4 b = − 1 ⇒ b = 0 ⇒ { a = 1 a = − 1  矛盾.  \because \left\{\begin{array}{l} 4 a+3 b=4 \\ a+4 b=-1 \end{array} \Rightarrow b=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ a=-1 \end{array}\right. \text { 矛盾. }\right.∵{4a+3b=4a+4b=−1⇒b=0⇒{a=1a=−1 矛盾. ∴ 4 − 3 3 在 ( 4 + 3 3 ) 中 ， ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 − 3 ) \therefore 4-3 \sqrt{3}在 (4+3 \sqrt{3})中，(4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3})∴4−33在(4+33)中，(4+3)=(4−3)
3. ∵ ( − 2 + 3 ) 33 + 10 ( 7 − 3 3 ) = 4 + 3 3 \because(-2+ \sqrt{3}) 33+10(7-3 \sqrt{3})=4+3 \sqrt{3}∵(−2+3)33+10(7−33)=4+33，∴ 4 + 3 3 \therefore 4+3 \sqrt{3}∴4+33 在 ( 33 , 7 − 3 3 ) 中 (33,7-3 \sqrt{3})中(33,7−33)中
   ∵ ( − 12 + 9 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 33 , ( − 5 + 3 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 7 − 3 3 \because(-12+9 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=33, \quad(-5+3 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=7-3 \sqrt{3}∵(−12+93)(4+33)=33,(−5+33)(4+33)=7−33
   ∴ 33 , 7 − 3 3 \therefore 33,7-3 \sqrt{3}∴33,7−33 在 ( 4 + 3 3 ) (4+3 \sqrt{3})(4+33) 中
   ∴ ( 33 , 7 − 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) \therefore(33,7-3 \sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})∴(33,7−33)=(4+33)
4. ∵ ( − 1 − 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( − 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 \because(-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3})+(-2+\sqrt{3}) 13=4+\sqrt{3}∵(−1−3)(7+53)+(−2+3)13=4+3，∴ 4 + 3 在 ( 13 , 7 + 5 3 ) 中 \therefore4+\sqrt{3} 在 (13,7+5 \sqrt{3}) 中∴4+3在(13,7+53)中∵ ( 4 − 3 ) ( 4 + 3 ) = 13 , ( 1 + 3 ) ( 4 + 3 ) = 7 + 5 3 ∴ 13 , 7 + 5 3  在  ( 4 + 3 ) 中 ∴ ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) \begin{aligned} & \because(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=13,(1+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=7+5 \sqrt{3} \\ & \therefore \quad 13,7+5 \sqrt{3} \text { 在 }(4+\sqrt{3})中\\ & \therefore \quad(13,7+5 \sqrt{3})=(4+\sqrt{3}) \end{aligned}∵(4−3)(4+3)=13,(1+3)(4+3)=7+53∴13,7+53 在 (4+3)中∴(13,7+53)=(4+3)

题目2

令域扩展 K = Q ( − 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})K=Q(−1)，试在 O K \mathcal{O}_KOK（K KK 的整环）中：

1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想；
2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解。

相关概念

1. （题1）K = Q ( − 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})K=Q(−1) 的整环 O K \mathcal{O}_KOK 是高斯整数环 Z [ − 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]Z[−1]。高斯整数环是由形式为 a + b − 1 a + b\sqrt{-1}a+b−1 的数构成的环，其中 a , b ∈ Z a, b \in \mathbb{Z}a,b∈Z。
   
2. （题1）范（Norm） 的定义：对于高斯整数 α = a + b − 1 \alpha = a + b\sqrt{-1}α=a+b−1，其范定义为 N ( α ) = a 2 + b 2 N(\alpha) = a^2 + b^2N(α)=a2+b2。
   
3. （题2）在Z [ − 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]Z[−1]中进行素理想分解，首先需要了解该环的素元素。高斯整数环中的素元素可以是：

• 普通素数 p pp，如果 p ≡ 3 m o d    4 p \equiv 3 \mod 4p≡3mod4。
• 两个高斯整数的乘积，如果普通素数 p ≡ 1 m o d    4 p \equiv 1 \mod 4p≡1mod4。
• 1 + − 1 1 + \sqrt{-1}1+−1 和其共轭。

题解

1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想

1. 范为1的理想：只有单位理想和整环本身。
2. 范为2的理想：包括 ( 1 + − 1 ) (1 + \sqrt{-1})(1+−1) 和它的共轭 ( 1 − − 1 ) (1 - \sqrt{-1})(1−−1)。
3. 范为3的理想：无，因为没有高斯整数的范为3。
4. 范为4的理想：包括 ( 2 ) (2)(2), ( 2 − 1 ) (2\sqrt{-1})(2−1)。
5. 范为5的理想：无，因为没有高斯整数的范为5。

2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解

1. (2) 的素理想分解：( 2 ) (2)(2) 本身就是一个素理想，因为 2 = ( 1 + − 1 ) ( 1 − − 1 ) 2 = (1 + \sqrt{-1})(1 - \sqrt{-1})2=(1+−1)(1−−1)，而 1 ± − 1 1 \pm \sqrt{-1}1±−1 在 Z [ − 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]Z[−1] 中是不可约的。
2. (3) 的素理想分解：( 3 ) (3)(3) 是素理想，因为 3 是普通素数且 3 ≡ 3 m o d    4 3 \equiv 3 \mod 43≡3mod4。
3. (4) 的素理想分解：( 4 ) = ( 2 ) 2 (4) = (2)^2(4)=(2)2。由于 ( 2 ) (2)(2) 已经是素理想，因此 ( 4 ) (4)(4) 的分解就是 ( 2 ) (2)(2) 的平方。
4. (5) 的素理想分解：对于 ( 5 ) (5)(5)，由于 5 ≡ 1 m o d    4 5 \equiv 1 \mod 45≡1mod4，它可以分解为两个不同的高斯整数的乘积。具体来说，5 = ( 2 + − 1 ) ( 2 − − 1 ) 5 = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1})5=(2+−1)(2−−1)，因此 ( 5 ) = ( 2 + − 1 ) ( 2 − − 1 ) (5) = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1})(5)=(2+−1)(2−−1)。其中 ( 2 ± − 1 ) (2 \pm \sqrt{-1})(2±−1) 都是素理想。