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⛄ 内容介绍
压缩感知(Compressed sensing,CS)技术是近几年出现的一种新兴的信号采样和压缩技术,基于该理论所获得的原始信号采样值,不仅数量大大低于基于传统的Nyquist准则的采样值,而且CS技术还具有对未知信号边感知边压缩的特性.重构算法的设计是CS技术的核心,成为学者研究的重点.本文在对国内外已经出现的重构算法进行系统地研究后,在深入地研究了贪婪追踪算法和其重构模型的基础上,给出了正交匹配追踪(OrthogonalMatching Pursuit,OMP)类算法的基本原理.
⛄ 代码
% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
% 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
% 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
% Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
% DECEMBER 2007.
clc;clear
% 1. 时域测试信号生成
K=8; % 稀疏度(做FFT可以看出来),在频率域上只有7个尖峰，说明稀疏度为7
N=256; % 信号长度
M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率) ---压缩的目的已经达到了，我在存储的时候就不必把采集到的所有点都存起来了，
% 只需要存储M个点就能够恢复出N个点的x
f1=50; % 信号频率1
f2=100; % 信号频率2
f3=200; % 信号频率3
f4=400; % 信号频率4
fs=6400; % 采样频率
ts=1/fs; % 采样间隔
Ts=1:N; % 采样序列
x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来
huty=fft(x);
figure;
subplot(311);
plot(abs(huty))
title('原始信号的FFT');
legend('在频域观测稀疏度k=8')
% 2. 时域信号压缩传感
Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵
%经过这个实现压缩：将采样得到的数据与一个随机高斯白噪声相乘，进行降维压缩
y=Phi*x.'; % 获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵
% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题) OMP算法
%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。
m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵,取转置就是傅里叶反变换矩阵
%huty1=huty*Psi';
%figure
%plot(real(huty1));
T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=y; % 残差值
for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
end
[val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹
%^（-1）对矩阵来讲是求逆。
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*y; % 最小二乘,使残差最小
r_n=y-Aug_t*aug_y; % 残差
pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
% 4. 恢复信号和原始信号对比
%figure(1);
%hold on;
subplot(313);
%figure
plot(hat_x,'k.-')% 重建信号
legend('重建信号')
subplot(312);
%figure
plot(x,'r') % 原始信号
legend('原始信号')
norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
⛄ 运行结果
⛄ 参考文献
[1] 杨真真, 杨震, 孙林慧. 信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理, 2013, 29(4):11.
[2] 毛本清. 基于正交双向小波语音基频信号数据压缩与MATLAB实现[J]. 赤子, 2017, 000(015):159-160.
[3] 姚远, 梁志毅. 基于压缩感知信号重建的自适应空间正交匹配追踪算法[J]. 计算机科学, 2012.
[4] 杨良龙. 压缩感知中信号重建算法和确定性测量矩阵研究[D]. 南京邮电大学, 2013.
