开发者学堂课程【大数据学习-数学基础及应用：向量、矩阵应用介绍】学习笔记，与课程紧密联系，让用户快速学习知识。
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向量、矩阵应用介绍
内容介绍：
一、向量在游戏引擎中的应用
二、矩阵奇异值分解及其应用
一、向量在游戏引擎中的应用：
1.背景：游戏引擎中的 VR 和 AR 的应用非常广泛，负责一些三维图层的生成以及渲染以及一些物理逻辑的应用。所以就举一个向量在游戏引擎中的例子。
2.点乘：向量的点承在游戏引擎中用来判断敌人的位置
例：确定了玩家位置以及敌人位置，对于一个相同的坐标原点来说，都是向量。
敌人位置E；玩家位置P；V=E-P
F：指向玩家面对的方向的向量
D=V*F 为正数敌人在玩家的身前，为负数则敌人在玩家身后
原理：a*b 点乘就是 a 的模 ×b 的模夹角的余弦，如果夹角大于90度则为小于0，敌人在玩家身后；如果夹角小于90度则大于0，敌人在玩家身前。
3.叉乘:（右手法则从 a 向量的位置叉乘到 b 向量的位置，最终结果向量的方向是大拇指的方向）力矩物理模拟原理。所以在物理模拟中叉乘是可以模拟力矩物理现象。
当一个力施加到一个对象上时，它将使对象产生旋转运动(如果力并非施加在对象的重心)。这个旋转力被称作力矩。
计算方式:给定力 F，以及从重心到受力点的向量 r，力矩 N=rxF。
4.碰撞检测:
把小球的位置看成一个向量，这个向量的长度(模)大于或等于圆的半径r时，即判断发生了碰撞。大圆是小球活动范围，也可以堪称圆型墙壁。碰撞后在现实生活中还会反弹，反弹方向如何定义，可以看图中 v 项量与 y 轴有 a 夹角，在一种非常理想的碰撞条件下，只要把速度向量取反，得到 vo,再求出I与 vo 之间的夹角 a，再让 v0 旋转2*a 的角度，得到 v1，因为是理想的碰撞情况我们认为 a 和 b 相等。所以 v1 就是小球碰撞后弹出去的方向，以上是向量在碰撞检测中的应用。
二、矩阵奇异值分解及其应用
1.奇异值分解(Singular Value Decomposition)
一种矩阵分解形式，与 lu 分解以及特征值分解是并列的矩阵分解形式。它将一个矩阵分解为三个子矩阵，分别代表了左奇异向量，奇异值矩阵以及右奇异向量。
A=U∑VT
A是一个 M*N 的矩阵，那么得到的 U 是一个 M*M 的方阵(里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量)，∑是一个 M*N 的矩阵(除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值)，VT 是一个 N*N 的矩阵，里面的向量也是正交的，V 里面的向量称为右奇异向量)
2.潜在语义索引(Latent Semantic Indexing，LSI)
将语义相关内容融合到搜索引擎中，用来提高搜索引擎的效率
行:表示一个词在哪些 title 中出现了
列:表示一个 title 中有哪些词
title 表示文章的主题/标题
例：book 这个词在 T3和 T4文章中出现一次
经过矩阵的奇异值分解之后，大的矩阵被分解成三个矩阵，左侧的左奇异矩阵，中间的奇异值矩阵和右侧的右奇异矩阵，奇异值矩阵是3*3维度的矩阵，通过 svd 的分解，认为他的潜在语义包含三类语义，这些文章以及单词总共的类别都在这三个大类别中，中间的矩阵表示的是词类、文章类的相关性，相关性数值越大表示相关性越强。
从下图可以看出左奇异矩阵和右奇异矩阵都有三个维度
如下图，将左奇异向量和右奇异向量都取后2维，投影到一个平面上，可以同时对词和文档（title）进行聚类。红色的类别包括 T1和 T3，词包括 stock 和 market，可以认为在这个类别中，不管是文章还是关键词表示的是证券、金融、市场方面的内容，用户检索文档，是用语义级别(近义词集合)去检索，而不是之前的词的级别，大大提升检索效率，这也是潜在语义索引最大的好处在。
