此示例显示如何估计条件均值和方差模型。
加载数据并指定模型
加载NASDAQ数据 。为了使数值平稳，将数据转换为收益率。建立AR（1）和GARCH（1,1）模型。
load Data_EquityIdx nasdaq = DataTable.NASDAQ; r = 100*price2ret(nasdaq); T = length(r); Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',garch(1,1)) Mdl = arima with properties: Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)" Distribution: Name = "Gaussian" P: 1 D: 0 Q: 0 Constant: NaN AR: {NaN} at lag [1] SAR: {} MA: {} SMA: {} Seasonality: 0 Beta: [1×0] Variance: [GARCH(1,1) Model]
不使用预采样数据估计模型参数
使用estimate。使用estimate自动生成的预采样样本。
EstMdl = estimate(Mdl,r); ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.072632 0.018047 4.0245 5.7087e-05 AR{1} 0.13816 0.019893 6.945 3.7845e-12 GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.022377 0.0033201 6.7399 1.5852e-11 GARCH{1} 0.87312 0.0091019 95.927 0 ARCH{1} 0.11865 0.008717 13.611 3.4339e-42
估计显示五个估计参数及其对应的标准误差（AR（1），条件均值模型具有两个参数，GARCH（1,1）条件方差模型具有三个参数。
推断条件方差和标准化残差
推断并绘制条件方差和标准化残差。输出对数似然目标函数值。
[res,v,logL] = infer(EstMdl,r); figure subplot(2,1,1) plot(v) xlim([0,T]) title('Conditional Variance') subplot(2,1,2) plot(res./sqrt(v)) xlim([0,T]) title('Standardized Residuals')
在2000个样本之后，条件方差增加。看到波动性增加。
标准化残差在标准正态分布下具有比预期更大的值 。
拟合具有t分布的模型
修改模型为Student's t分布 ，指定方差模型常量项的初始值。
MdlT = Mdl; MdlT.Distribution = 't'; EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',{'Constant0',0.001}); ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.093488 0.016694 5.6002 2.1412e-08 AR{1} 0.13911 0.018857 7.3771 1.6175e-13 DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4125e-17 GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.011246 0.0036305 3.0976 0.0019511 GARCH{1} 0.90766 0.010516 86.316 0 ARCH{1} 0.089897 0.010835 8.2966 1.0712e-16 DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4125e-17
当t分布时，系数估计值会略有变化。第二个模型拟合（EstMdlT）有一个额外的参数估计，即t分布自由度。估计的自由度相对较小（约为8），表明有明显误差。
比较模型拟合
使用赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）比较两种模型拟合 。首先，获得第二拟合的对数似然目标函数值。
[resT,vT,logLT] = infer(EstMdlT,r); [aic,bic] = aicbic([logL,logLT],[5,6],T) aic = 1×2 103 × 9.4929 9.3807 bic = 1×2 103 × 9.5230 9.4168
第二个模型有六个参数，而第一个模型中有五个参数 。尽管如此，两个信息标准都支持具有学生t分布的模型。
