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1. 前言
1.1 EM的介绍
（Expectation-Maximization，EM）是一种迭代式的优化算法，主要用于解决含有隐变量的概率模型的参数估计问题。它的目标是在给定观测数据和未观测数据（隐变量）的情况下，估计概率模型的参数，使得模型能够最好地拟合观测数据。
EM算法的基本思想是通过交替进行两个步骤来优化模型参数：E步骤（Expectation）和M步骤（Maximization）。
- E步骤（
Expectation）：
在E步骤中，我们根据当前的参数估计值，计算出每个观测数据属于每个隐变量状态的概率，即计算出每个观测数据的后验概率。这些后验概率称为期望，因为它们代表了在当前参数下观测数据所“期望”的隐变量状态。 - M步骤（
Maximization）：
在M步骤中，我们根据E步骤得到的后验概率，最大化对数似然函数（或者叫Q函数）来更新模型参数。这一步骤可以看作是在给定观测数据和当前隐变量的情况下，对模型参数进行最大似然估计。
通过反复迭代E步骤和M步骤，EM算法不断优化模型参数，直到达到收敛条件。最终得到的模型参数能够使得模型对观测数据的拟合效果达到最优。
优点：
- 强大的参数估计能力：EM算法在含有隐变量的概率模型中具有较强的参数估计能力，尤其对于复杂模型和大规模数据集表现出色。
- 高效的迭代优化：EM算法采用迭代的方式优化参数，通常能够在有限的迭代次数内收敛到局部最优解，相比其他优化方法更高效。
- 灵活性：EM算法可以用于广泛的机器学习任务，包括聚类、混合高斯模型、隐马尔可夫模型等，使其在不同领域中得到广泛应用。
- 统计性解释：EM算法基于最大似然估计，提供了对模型参数的统计性解释，能够在一定程度上量化参数估计的不确定性。
缺点：
- 收敛性不稳定：EM算法对于参数的初始值敏感，可能会陷入局部最优解，导致收敛性不稳定。
- 需要选择合适的迭代次数：EM算法的收敛速度取决于迭代次数的选择，过多或过少的迭代次数都可能影响参数估计的精度。
- 对高维数据敏感：在高维数据上，EM算法可能会面临维度灾难和过拟合问题，导致模型性能下降。
- 可能陷入局部最优解：EM算法是一种局部优化方法，可能会陷入局部最优解，而无法得到全局最优解。
1.2 EM的应用场景
EM算法主要是用于参数估计，特别是在一些含有隐变量的概率模型，因此应用领域相对广泛：
- 计算机视觉：在图像处理和计算机视觉中，EM算法可以用于图像分割、目标识别和人脸识别等任务，特别是在混合高斯模型和高斯混合模型中的应用较为广泛。
- 自然语言处理：在自然语言处理领域，EM算法常用于文本聚类、主题模型和情感分析等任务，例如隐含狄利克雷分布模型（Latent Dirichlet Allocation，LDA）就是一种常见的应用。
- 生物信息学：在基因组学和蛋白质结构预测中，EM算法可以用于基因表达聚类、DNA序列分析和蛋白质折叠等问题。
- 金融领域：在金融风险评估、投资组合优化和市场预测中，EM算法可以用于建模和预测复杂的金融数据。
- 推荐系统：在个性化推荐和协同过滤任务中，EM算法可以用于学习用户和物品的隐含因子，从而实现更准确的推荐。
- 医学图像分析：在医学影像处理和分析中，EM算法可以用于图像分割、病灶检测和医学图像重建等任务。
- 无线通信：在无线信号处理和通信中，EM算法可以用于信号检测、通信信道估计和信号解调等问题。
2. 高斯混合模型估计
EM算法通常用于无监督学习问题，这里就用简单的高斯混合模型（GMM）作实战演示，此外还有隐马尔可夫模型（HMM）也是挺常见的。
2.1 导入函数
import random import numpy as np from numpy.linalg import inv import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import multivariate_normal
2.2 创建数据
m1 = [1, 1] m2 = [7, 7] cov1 = [[3, 2], [2, 3]] cov2 = [[2, -1], [-1, 2]] x = np.random.multivariate_normal(m1, cov1, size=(200,)) y = np.random.multivariate_normal(m2, cov2, size=(200,)) d = np.concatenate((x, y), axis=0)
查看分布情况
plt.figure(figsize=(10,10)) plt.scatter(d[:,0], d[:,1], marker='o') plt.axis('equal') plt.xlabel('X-Axis', fontsize=16) plt.ylabel('Y-Axis', fontsize=16) plt.title('Ground Truth', fontsize=22) plt.grid() plt.show()
2.3 初始化
这里是在进行EM算法前对两个高斯分布的均值和协方差矩阵初始，其中参数pi初始化为 0.5，表示两个高斯分布的先验概率相等
m1 = random.choice(d) m2 = random.choice(d) cov1 = np.cov(np.transpose(d)) cov2 = np.cov(np.transpose(d)) pi = 0.5
可视化高斯分布情况（等高线）
x1 = np.linspace(-4, 11, 200) x2 = np.linspace(-4, 11, 200) X, Y = np.meshgrid(x1, x2) Z1 = multivariate_normal(m1, cov1) Z2 = multivariate_normal(m2, cov2) pos = np.empty(X.shape + (2,)) pos[:, :, 0] = X pos[:, :, 1] = Y plt.figure(figsize=(10, 10)) plt.scatter(d[:, 0], d[:, 1], marker='o') plt.contour(X, Y, Z1.pdf(pos), colors="r", alpha=0.5) plt.contour(X, Y, Z2.pdf(pos), colors="b", alpha=0.5) plt.axis('equal') plt.xlabel('X-Axis', fontsize=16) plt.ylabel('Y-Axis', fontsize=16) plt.title('Initial State', fontsize=22) plt.grid() plt.show()
2.4 Expectation Step
计算数据点对应于每个类别的"期望"
def Estep(lis1): m1=lis1[0] m2=lis1[1] cov1=lis1[2] cov2=lis1[3] pi=lis1[4] pt2 = multivariate_normal.pdf(d, mean=m2, cov=cov2) pt1 = multivariate_normal.pdf(d, mean=m1, cov=cov1) w1 = pi * pt2 w2 = (1-pi) * pt1 eval1 = w1/(w1+w2) return(eval1)
2.5 Maximization step
使用E步骤中得到的隐含变量的估计值，来最大化（最优化）模型的对数似然函数
def Mstep(eval1): num_mu1,din_mu1,num_mu2,din_mu2=0,0,0,0 for i in range(0,len(d)): num_mu1 += (1-eval1[i]) * d[i] din_mu1 += (1-eval1[i]) num_mu2 += eval1[i] * d[i] din_mu2 += eval1[i] mu1 = num_mu1/din_mu1 mu2 = num_mu2/din_mu2 num_s1,din_s1,num_s2,din_s2=0,0,0,0 for i in range(0,len(d)): q1 = np.matrix(d[i]-mu1) num_s1 += (1-eval1[i]) * np.dot(q1.T, q1) din_s1 += (1-eval1[i]) q2 = np.matrix(d[i]-mu2) num_s2 += eval1[i] * np.dot(q2.T, q2) din_s2 += eval1[i] s1 = num_s1/din_s1 s2 = num_s2/din_s2 pi = sum(eval1)/len(d) lis2=[mu1,mu2,s1,s2,pi] return(lis2)
2.6 循环迭代可视化
这里修改迭代次数（i）分别为1，2，3，4，结果：
iterations = 20 lis1=[m1,m2,cov1,cov2,pi] for i in range(0,iterations): lis2 = Mstep(Estep(lis1)) lis1=lis2 if(i==0 or i == 4 or i == 9 or i == 14 or i == 19): plot(lis1)
i = 0：
i = 1：
i = 2：
i = 3：
i = 4：
当i越大，等高线的重叠程度越小，说明经过更多的迭代，高斯混合模型的参数估计越接近真实值，模型的拟合效果越好。根据结果可以看到在第二次迭代后两个模型等高线几乎没有变化，这表示模型已经收敛到一个稳定状态。在EM算法中，迭代会持续更新参数，直到收敛到一个局部最优解或全局最优解为止。
当模型达到收敛状态后，后续的迭代可能不会有显著的变化，因为模型已经找到了最优解或接近最优解。此时，进一步迭代可能只会导致细微的调整，不会对整体结果产生重大影响。
3. 多维情况
有小伙伴会问如果我一个数据集有多个分组，直接上：GMM的建模代码和刚刚一样
import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import style style.use('fivethirtyeight') from sklearn.datasets import make_blobs import numpy as np from scipy.stats import multivariate_normal # 0. Create dataset X, Y = make_blobs(cluster_std=1.5, random_state=20, n_samples=500, centers=3) # Stratch dataset to get ellipsoid data X = np.dot(X, np.random.RandomState(0).randn(2, 2)) class GMM: def __init__(self,X,number_of_sources,iterations): self.iterations = iterations self.number_of_sources = number_of_sources self.X = X self.mu = None self.pi = None self.cov = None self.XY = None def run(self): self.reg_cov = 1e-6*np.identity(len(self.X[0])) x,y = np.meshgrid(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1])) self.XY = np.array([x.flatten(),y.flatten()]).T self.mu = np.random.randint(min(self.X[:,0]),max(self.X[:,0]),size=(self.number_of_sources,len(self.X[0]))) self.cov = np.zeros((self.number_of_sources,len(X[0]),len(X[0]))) for dim in range(len(self.cov)): np.fill_diagonal(self.cov[dim],5) self.pi = np.ones(self.number_of_sources)/self.number_of_sources log_likelihoods = [] fig = plt.figure(figsize=(10,10)) ax0 = fig.add_subplot(111) ax0.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1]) ax0.set_title('Initial state') for m,c in zip(self.mu,self.cov): c += self.reg_cov multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c) ax0.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3) ax0.scatter(m[0],m[1],c='grey',zorder=10,s=100) for i in range(self.iterations): r_ic = np.zeros((len(self.X),len(self.cov))) for m,co,p,r in zip(self.mu,self.cov,self.pi,range(len(r_ic[0]))): co+=self.reg_cov mn = multivariate_normal(mean=m,cov=co) r_ic[:,r] = p*mn.pdf(self.X)/np.sum([pi_c*multivariate_normal(mean=mu_c,cov=cov_c).pdf(X) for pi_c,mu_c,cov_c in zip(self.pi,self.mu,self.cov+self.reg_cov)],axis=0) self.mu = [] self.cov = [] self.pi = [] log_likelihood = [] for c in range(len(r_ic[0])): m_c = np.sum(r_ic[:,c],axis=0) mu_c = (1/m_c)*np.sum(self.X*r_ic[:,c].reshape(len(self.X),1),axis=0) self.mu.append(mu_c) self.cov.append(((1/m_c)*np.dot((np.array(r_ic[:,c]).reshape(len(self.X),1)*(self.X-mu_c)).T,(self.X-mu_c)))+self.reg_cov) self.pi.append(m_c/np.sum(r_ic)) log_likelihoods.append(np.log(np.sum([k*multivariate_normal(self.mu[i],self.cov[j]).pdf(X) for k,i,j in zip(self.pi,range(len(self.mu)),range(len(self.cov)))]))) fig2 = plt.figure(figsize=(10,10)) ax1 = fig2.add_subplot(111) ax1.set_title('Log-Likelihood') ax1.plot(range(0,self.iterations,1),log_likelihoods) def predict(self,Y): fig3 = plt.figure(figsize=(10,10)) ax2 = fig3.add_subplot(111) ax2.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1]) for m,c in zip(self.mu,self.cov): multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c) ax2.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3) ax2.scatter(m[0],m[1],c='grey',zorder=10,s=100) ax2.set_title('Final state') for y in Y: ax2.scatter(y[0],y[1],c='orange',zorder=10,s=100) prediction = [] for m,c in zip(self.mu,self.cov): prediction.append(multivariate_normal(mean=m,cov=c).pdf(Y)/np.sum([multivariate_normal(mean=mean,cov=cov).pdf(Y) for mean,cov in zip(self.mu,self.cov)])) return prediction GMM = GMM(X, 3, 50) GMM.run() GMM.predict([[0.5, 0.5]])
原始状态：
EM优化后：
五个组别的也一样可以收敛的很到位：
4. 讨论
EM算法广泛应用于许多领域，尤其在统计学、机器学习和数据挖掘中，用于处理包含缺失数据或未观测变量的复杂模型，如高斯混合模型（GMM）、隐马尔可夫模型（HMM）等。通过EM算法，我们可以估计模型参数，对数据进行聚类、密度估计等任务，从而更好地理解和分析数据。
常见的机器学习算法实战演示基本上都在前10节归纳到位了，从本节起也会陆续把重心放到优化算法上。
