伴随矩阵的特征值

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为

$$\bex \lm_2\lm_3,\quad \lm_3\lm_1,\quad \lm_1\lm_2. \eex$$

 

参考解答见[物理学与PDEs]第5章习题9 伴随矩阵的特征值.

 

推广: 设 $n\times n$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\cdots,\lm_n$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为

$$\bex\lm_2\cdots\lm_n,\lm_3\cdots\lm_n\lm_1,\cdots,\lm_1\lm_2\cdots\lm_{n-1}. \eex$$

 

复旦大学谢启鸿老师给的一个解答: 根据复旦高代教材 P233 定理 6.1.2, 任一 $n$ 阶矩阵 $A$ 复相似于上三角阵, 即存在非异阵 $P$, 使得

$$P^{-1}AP=B=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ & \lambda_2 & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}.$$  注意到伴随阵的性质: $(AB)^*=B^*A^*$ 及 $(P^{-1})^*=(P^*)^{-1}$, 上式两边同取伴随可得: $$P^*A^*(P^*)^{-1}=B^*=\begin{bmatrix} \prod_{i\neq 1}\lambda_i & * & \cdots & * \\ & \prod_{i\neq 2}\lambda_i & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \prod_{i\neq n}\lambda_i \end{bmatrix}.$$ 因此 $A^*$ 的全体特征值为 $\prod_{i\neq 1}\lambda_i$, $\prod_{i\neq 1}\lambda_i$, $\cdots$, $\prod_{i\neq 1}\lambda_i$.