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⛄ 内容介绍
对于有界热传导齐次方程的混合问题,用分离变量法求解往往很复杂.为了更好地理解热传导方程的解,使用MATLAB软件将方程的解用图像表示出来.通过区域转换的思想,利用MATLAB编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法,数值表明了方法的可行性和稳定性.
⛄ 部分代码
clc
clear;
%==========================================================================
% 尝试性使用有限差分法解决已知解问题
% 待解方程: u_t = （u_{xx} + u_{yy}）（0,pi）*（0,pi）*（0,1）
% 精确: 无
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%设定边界a0<=x<=a1,b0<=y<=b1,t0<=t<=t1
a=1;
a0=0;a1=pi;
b0=0;b1=pi;
t0=0;t1=1;
%设定区域步长h及网比r，并计算时间步长tao
h=pi/20;r=1/pi^2;tao=r*h^2;
%计算总区域步数m，总时间步数n
m=20;n=(t1-t0)/tao;
%确定坐标范围
x=a0:h:a1;y=b0:h:b1;
%==========================================================================
%网格设置，初始条件
%==========================================================================
%根据边界条件，建立初始矩阵
u=ones(m+1,m+1);
for i=1:m+1
for j=1:m+1
u(i,j) =sin(x(i));
end
end
temp=u;
%==========================================================================
%确定差分格式P-R
diag_0=(1+r*a)*ones(m-1,1);
diag_1=(-r*a/2)*ones(m-2,1)';
u1=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_1,-1);
%确定差分格式P-R
diag1_0=(1+r*a)*ones(m+1,1);
diag1_1=(-r*a/2)*ones(m,1)';
u2=diag(diag1_0)+diag(diag1_1,1)+diag(diag1_1,-1);
%==========================================================================
%开始使用差分法解方程
d=zeros(m-1,1);
dd=zeros(m+1,1);
for s=1:n
for k=2:m
for j=1:m-1
d(j)=r*a/2*(u(j,k)+u(j+2,k))+(1-r*a)*u(j+1,k);
end
u(2:m,k)=chase(u1,d);%使用追赶法
end
for j=2:m
for k=2:m
dd(k)=r*a/2*(u(j,k+1)+u(j,k-1))+(1-r*a)*u(j,k);
end
temp=chase(u2,dd);
u(j,:)=temp';%使用追赶法
end
end
%==========================================================================
figure(1); mesh(x,y,u')
title('数值解');
⛄ 运行结果
⛄ 参考文献
[1]史策. 热传导方程有限差分法的MATLAB实现[J]. 咸阳师范学院学报, 2009, 24(4):4.
