心得经验总结:特征值和特征向量

简介: 心得经验总结:特征值和特征向量

1 基本定义

  设 A 为 n 阶方阵,若存在数 λ 和非零向量 x,使得:

  则称 λ 是 A 的一个特征值,x 为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。

  先有一个直观的印象:可以把矩阵看做是运动,特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。

  注意,由于矩阵是数学概念,非常抽象,所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的,在现实不同的应用中有不同的指代。

2 几何意义

  因为线性变换总是在各种基之间变来变去,所以下面都会把作图所用的基和原点给画出来。

  在下面有个:

  随便左乘一个矩阵 A,图像看上去没有什么特殊的:

  调整下的方向,图像//代码效果参考:http://www.zidongmutanji.com/zsjx/465619.html

看上去有点特殊了:

  可以观察到,调整后的 和 在同一根直线上,只//代码效果参考:http://www.zidongmutanji.com/zsjx/175031.html

是 的长度相对 的长度变长了。

  此时,我们就称 是 的特征向量,而 //代码效果参考:http://www.zidongmutanji.com/zsjx/484389.html

的长度是<img src="data:image/svg+xml;utf8,%3Csvg%20xmlns%3Axlink%3D%22http%3A%2F%2F
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