[家里蹲大学数学杂志]第248期东北师范大学2013年数学分析考研试题

1 计算

$$\bex \lim_{x\to \infty} \sex{\frac{4x+3}{4x-1}}^{2x-1}. \eex$$

2计算

$$\bex \lim_{x\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln \frac{i\pi}{n}. \eex$$

3求隐函数 $x^2+y^2=\cos(xy)$ 的导数.

4计算

$$\bex \lim_{x\to 0}\frac{x\int_0^x e^{t^2}\rd t}{\int_0^x te^{t^2}\rd t}. \eex$$

5计算

$$\bex \int_0^1 \rd y\int_0^y e^{-x^2}\rd x. \eex$$

6计算

$$\bex \iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1}(x^2+y^2+z^2)\rd x\rd y\rd z. \eex$$

7确定函数 $f(x)=2x^3-5x^2+4x+2$ 的单调性、极值、拐点和凹凸性.

8设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 再设

$$\bex F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t. \eex$$ 求证:

(1)$F'(x)\geq 2$;

(2) 方程 $F(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有唯一解.

9已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 二阶可导, 且 $f''(x)\geq 1$. 求证: $|f'(0)-f'(1)|\geq 1$.

10已知 $f(x)$ 连续可导. 求证:

(1)

$$\bex \int_0^1 x^n f(x)\rd x =\frac{f(1)}{n+1} -\frac{1}{n+1}\int_0^1 x^{n+1}f(x)\rd x; \eex$$

(2)

$$\bex \lim_{n\to\infty}\int_0^1 x^n f(x)\rd x=f(1). \eex$$

11已知 $f(x)=\pi (e^x+e^{-x})e^\pi+e^{-\pi}$, 求 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的 Fourier 级数.

12计算 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)^n}}$.

13设 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上连续, $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x, \int_0^\infty f'(x)\rd x}$ 都收敛. 证明: $\dps{\lim_{x\to\infty}f(x)=0}$.