(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学2014年高等代数考研试题]) 设 $n$ 阶行列式 $\sev{\ba{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \ea}=1,$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji}, i,j=1,2,\cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $\sev{\ba{cccc} a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x \ea}.$
解答: 这是南开大学 2004 年高等代数第一题, 今年又考了. 设 $$\bex {\bf A}=(a_{ij}),\quad {\bf e}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{n\mbox{ 个}}),\quad {\bf B}=(a_{ij}+x), \eex$$ 则 $$\beex \bea |B|&=\sev{\ba{cccc} 1&x&\cdots&x\\ 0&a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x \ea} =\sev{\ba{cccc} 1&x&\cdots&x\\ -1&a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -1&a_{n1}&\cdots&a_{nn} \ea}=\sev{\ba{cc} 1&x{\bf e}^T\\ -{\bf e}&{\bf A} \ea}. \eea \eeex$$ 又由 $$\bex \sex{\ba{cc} 1&-x{\bf e}^T{\bf A}^{-1}\\ {\bf 0}&{\bf E} \ea}\sex{\ba{cc} 1&x{\bf e}^T\\ -{\bf e}&{\bf A} \ea}=\sex{\ba{cc} 1-x{\bf e}^T {\bf A}^{-1}{\bf e}&{\bf 0}\\ -{\bf e}&{\bf A} \ea} \eex$$ 知 $$\beex \bea |{\bf B}|&=(1-x{\bf e}^T{\bf A}^{-1}{\bf e})\cdot|{\bf A}|\\ &=1-x\sum_{i,j} ({\bf A}^{-1})_{ij}\\ &=1, \eea \eeex$$ 其中最后一步是因为 ${\bf A}$ 反对称 $\ra {\bf A}^{-1}$ 反对称 (直接写出 $a_{ij}$ 在 ${\bf A}$ 中的代数余子式 $A_{ij}$ 后与 $A_{ji}$ 比较).
