浙江大学2015年数学分析考研试题

1. 求极限

$$\bex \vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}. \eex$$

 

2. 求

$$\bex \lim_{x\to 0^+}\sez{\frac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}\rd t +\frac{1}{3}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4}}. \eex$$

 

 

3. 设

$$\bex I(r)=\oint_L \dfrac{y}{x^2+y^2}\rd x-\dfrac{x}{x^2+y^2}\rd y, \eex$$ 其中 $L$ 为 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正方向. 求 $\dps{\lim_{r\to \infty}I(r)}$.

 

 

4. 求

$$\bex \int_{e^{-2n\pi}}^0 \sin \ln \dfrac{1}{x}\rd x. \eex$$

 

 

5. 考察 Riemann 函数的连续性, 可微性及可积性.

 

 

6. $f$ 为定义在某区域 $D\subset\bbR^n$ 上的一个函数, 有一阶连续偏导数, 且偏导数有界.

(1). 若 $D$ 为凸区域, 证明: $f$ 一致连续.

(2). 考察 $D$ 不是凸区域的情况.

 

 

7. 设 $\sed{f_n}$ 是 $\bbR$ 上的函数列, 且对任意 $x\in\bbR$, $\sed{f_n(x)}$ 有界. 证明: 存在一个开区间 $(a,b)$, 使得 $\sed{f_n(x)}$ 在该区间上一致有界.

 

 

8.

(1). 证明 $\vGa(s)$ 在 $(0,\infty)$ 内无穷次可微.

(2). 证明 $\vGa(s)$, $\ln \vGa(s)$ 都是严格凸函数.

 

 

9. 设 $f$ 在 $\bbR$ 上二阶可微, $f,f',f''$ 均 $\geq0$, 且存在 $c>0$ 使得 $f''(x)\leq cf(x)$. 证明:

(1). $\dps{\lim_{x\to -\infty}f'(x)=0}$.

(2). 存在常数 $a$, 使得 $f'(x)\leq af(x)$, 并求出 $a$.

 

 

10. 证明 Fejer 定理.

 

11. 设 $f$ 在 $[A,B]$ 上 Riemann 可积, $0<f<1$, 对于任意 $\ve>0$, 构造一个函数 $g$ 使得

 

(1). $g$ 是一个阶梯函数, 取值为 $0$ 或 $1$.

(2). 对于 $\forall\ [a,b]\subset [A,B]$,

$$\bex \sev{\int_a^b [f(x)-g(x)]\rd x}<\ve. \eex$$

 

参考解答见家里蹲大学数学杂志.