来自陶哲轩小弟.
1. 计算行列式 $$\bex D=\sevm{ \frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_1+b_n}\\ \frac{1}{a_2+b_1}&\frac{1}{a_2+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_2+b_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{1}{a_n+b_1}&\frac{1}{a_n+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_n+b_n} }. \eex$$
2. 二次型 $$\bex f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+\be x_3^2 -2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3 \eex$$ 的秩为 $2$.
(1) 求 $\be$;
(2) 求正交变换, 将二次型化为标准型.
3. 矩阵 $A$ 的 $n-1$ 阶子式不全为零, 给出齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一组解, 并求方程所有的解.
4. $V_1,V_2$ 均是有限维线性空间, 且满足 $$\bex \dim (V_1+V_2)=\dim (V_1\cap V_2)+1. \eex$$ 证明: 必有 $V_1+V_2=V_1$, $V_1\cap V_2=V_2$ 或 $V_1+V_2=V_2$, $V_1\cap V_2=V_1$.
5. 证明与 $A$ 交换的矩阵均可表为 $A$ 的多项式, 其中 $$\bex A=\sexm{\lm&1&0&\cdots&0&0\\ 0&\lm&1&\cdots&0&0\\ 0&0&\lm&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lm&1\\ 0&0&0&\cdots&0&\lm}. \eex$$
6. $n$ 阶方阵 $A$ 的每行每列恰有一个元素为 $1$ 或 $-1$, 其余元素均为零. 证明: 存在 $k\in\bbN$, 使得 $A^k=E$.
7. 定义 $M_n(\bbC)$ 上的线性变换 $\scrA(X)=AX-XA$, 证明 $\scrA$ 的特征值必有 $\lm_i-\lm_j$ 的形式, 其中 $\lm_i,\lm_j$ 是 $A$ 的特征值.
8. 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶复方阵. 如果 $AB-BA=\mu B$, 其中 $\mu$ 是一个非零复数. 证明:
(1) $A,B$ 必有公共的特征向量;
(2) $A,B$ 可同时上三角化.
9. 设多项式 $g(x)=p^k(x)g_1(x)\ (k\geq 1)$, 多项式 $p(x)$ 与 $g_1(x)$ 互素. 证明: 对任意多项式 $f(x)$ 有 $$\bex \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{r(x)}{p^k(x)} +\frac{f_1(x)}{p^{k-1}(x)g_1(x)}, \eex$$ 其中 $r(x),f_1(x)$ 都是多项式, $r(x)=0$ 或 $\deg r(x)<\deg p(x)$.
