k-means聚类算法原理及其实现

k-means（k-均值）算法是一种基于距离的聚类算法，它用质心（Centroid）到属于该质心的点距离这个度量来实现聚类，通常可以用于N维空间中对象。下面，我们以二维空间为例，概要地总结一下k-means聚类算法的一些要点：

• 除了随机选择的初始质心，后续迭代质心是根据给定的待聚类的集合S中点计算均值得到的，所以质心一般不是S中的点，但是标识的是一簇点的中心。
• 基本k-means算法，开始需要随机选择指定的k个质心，因为初始k个质心是随机选择的，所以每次执行k-means聚类的结果可能都不相同。如果初始随机选择的质心位置不好，可能造成k-means聚类的结果非常不理想。
• 计算质心：假设k-means聚类过程中，得到某一个簇的集合Ci={p(x1,y1), p(x2,y2), …,p(xn,yn)}，则簇Ci的质心，质心x坐标为(x1+x2+ …+xn)/n，质心y坐标为(y1+y2+ …+yn)/n。
• k-means算法的终止条件：质心在每一轮迭代中会发生变化，然后需要重新将非质心点指派给最近的质心而形成新的簇，如果只有很少的一部分点在迭代过程中，还在改变簇（如，更新一次质心，有些点从一个簇移动到另一个簇），那么满足这样一个收敛条件，可以提前结束迭代过程。
• k-means算法的框架是：首先随机选择k个初始质心点，然后执行聚类处理迭代，不断更新质心，直到满足算法收敛条件。由于该算法收敛于局部最优，所以多次执行聚类算法，通过比较，选择聚类效果最好的结果作为最终的结果。
• k-means算法聚类完成后，没有离群点，所有的点都会被指派到对应的簇中。

由于k-means算法比较简单，对于算法的实现过程，我们概要地描述如下：

1. 随机选择k个初始质心；
2. 如果没有满足聚类算法终止条件，则继续执行步骤3，否则转步骤5；
3. 计算每个非质心点p到k个质心的欧几里德距离，将p指派给距离最近的质心；
4. 根据上一步的k个质心及其对应的非质心点集，重新计算新的质心点，然后转步骤2；
5. 输出聚类结果，算法可以执行多次，使用散点图比较不同的聚类结果。

下面，我们详细说明上述步骤：

随机选择初始质心

由于随机选择初始质心，每次执行聚类选择的初始质心都不相同，这也导致k-means算法聚类后，没有确定的结果，或者说，可能两次聚类的结果完全不同。该过程的实现，比较简单，只要随机选择给定待聚类点集合中的点即可，初始质心是实际存在的点，代码如下所示：

有一些方法，可以在这一步中，解决初始质心选择的随机性，可以将选择初始质心作为选择策略的设计，根据需要选择不同的策略，比如，可以这样设计策略接口：

我们这里只给了简单地随机选择策略，也是基本k-means算法最基础的策略。其他方法，可以查阅相关资料。

计算欧几里德距离，指派点到质心所在簇

计算每个非质心点到全部k个质心点的距离，将该非质心点指派给距离最小的质心点所在的簇。如果输出的数据量比较大，可以将数据集合进行分割，基于多线程去并行处理，最后再合并结果。我们的实现思路是：每个线程都共享k个质心的集合，然后将非质心点均匀分发到多个线程的队列中，然后每个线程从队列取出非质心点，计算非质心点到k个质心的距离，并计算出距离最短的质心，将该非质心点指派给该质心所在的簇。实现代码如下所示：

这样，经过一轮的迭代计算，每个线程都处理完，得到一个局部的指派的簇的集合，然后对每个局部集合进行合并，得到一个全局的、质心到属于该质心的点的簇的集合，作为下一次迭代的输入，也比较容易处理。

迭代终止条件计算

这一步应该算是k-means算法聚类过程中比较核心的步骤。我们考虑了如下3个终止条件：

1. 比较相邻的2轮迭代结果，在2轮过程中移动的非质心点的个数，设置移动非质心点占比全部点数的最小比例值，如果达到则算法终止
2. 为了防止k-means聚类过程长时间不收敛，设置最大迭代次数，如果达到最大迭代次数还没有达到上述条件，则也终止计算
3. 如果相邻2次迭代过程，质心没有发生变化，则算法终止，这是最强的终止约束条件。能够满足这种条件，几乎是不可能的，除非两次迭代过程中没有非质心点重新指派给到另一个不同的质心。

我们计算k-means聚类的核心代码框架，如下所示：

下面，我们讨论一下，如何根据两次聚类迭代结果，计算在簇之间移动的点的个数。如果把两轮聚类迭代结果中的k个簇分别从整体上来比较，得出在前后两轮迭代结果中在簇之间移动的非质心点的个数，可能比较麻烦，也容易陷入混乱的计算逻辑中。
我们可以这么思考：假设a、b两轮迭代结束，a轮中生成k个簇的集合Ca={C(a1),C(a2), …,C(ak)}，b轮中生成k个簇的集合Cb={C(b1),C(b2), …,C(bk)}，我们假设生成的簇是有编号的，而且，a轮生成的簇C(ai)，在b轮重新计算质心后生成的新簇为C(bi)，这样一一对应起来，分别计算在簇C(ai)与簇C(bi)之间移动的点的个数，首先计算簇C(ai)与簇C(bi)的交集S：

然后，分别计算簇C(ai)、簇C(bi)与S的差集Dai、Dbi：

这样，差集Dai和Dbi中的点都是在两轮聚类中移动的非质心点，由于一个簇中的点可能移动到另一个簇中，如某非质心点p，从C(ai)移动到C(bj)，其中i不等于j，那么在计算差集Dai与Dbi时，发现C(ai)中少了点p，点p被放入差集Dai；在计算簇C(aj)与簇C(bj)时，发现C(bj)中多了一个点p，则点p又被放入差集Dbj。可见，点p被放入到两个差集Dai和Dbj中，所以我们需要对最终得到的k个差集先做并计算：

然后再对集合D做一个去重操作，得到的点的集合就是两轮迭代过程中，在簇之间移动的点的集合。
我们基于上述计算思路实现的代码，对应上面代码中的analyzeMovingPoints方法，代码实现如下所示：

通过上面的计算逻辑，就能够计算出两轮聚类过程中，在簇之间移动的点的集合和个数。

聚类效果

每次执行k-means聚类，得到的结果都不相同，我们可以执行两次，取k=10，看一下聚类结果的散点图，如下图所示：

下面，我们选择不同的k值：5、10、20、50，分别执行k-means聚类，然后对比聚类结果，如下图所示：

总结

通过上面的实现，我们知道基本k-means聚类算法的实现过程比较简单，很容易实现。另外，该聚类算法适用于处理具有中心的球形簇，而且运行相当有效。但是，该聚类算法的结果受随机选择的质心的影响，每次计算都得到不同的结果，而且当待聚数据的具有不同的尺寸，或者密度非常不均匀，聚类结果非常的差。为了解决k-means聚类随机算法选择初始质心的问题，会有很多处理方法，可以查阅相关资料，其中bisecting k-means算法（二分k-均值）就是基于基本k-means得到的一种变体，能够比较好地处理，不受随机选择初始质心的影响，后续我们会实现并详细讨论。