代码随想录算法训练营第五十天 | LeetCode 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期、714. 买卖股票的最佳时机含手续费、股票系列总结
1. LeetCode 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
1.1 思路
- 本题是在122. 买卖股票的最佳时机 II的基础上加了个冷冻期，是可以多次买卖股票的，本题是在卖出股票后会有 1 天冷冻期即不能买了
- dp 数组及其下标的含义：dp[i][0] 是持有的状态，可以是当前买入或者前几天买入一直保持持有；dp[i][1] 保持卖出的状态（即冷冻期之后到买入的之前的状态，可以买入但不买的状态）；dp[i][2] 具体卖出的状态（即冷冻期前卖出股票的状态）；对于这里其实是把不持有的状态分成了 dp[i][1] 和 dp[i][2]；dp[i][3] 即冷冻期，持续一天
- 递推公式：dp[i][0]=Math.max（dp[i-1][0]，Math.max（dp[i-1][3]-prices[i]，dp[i-1][1]-prices[i]））即延续前一天持有股票的状态，或者前一天是冷冻期恢复后买入，又或者前一天是保持卖出的状态然后买入；dp[i][1]=Math.max（dp[i-1][1]，dp[i-1][3]）即延续前一天保持卖出的状态，或者前一天是冷冻期；dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]即前一天是持有股票的然后卖出了；dp[i][3]=dp[i-1][2]，即前一天是刚卖出的状态
- dp 数组的初始化：dp[0][0]=-prices[i]；dp[0][1] 这个状态本来就是不合理的状态，看看递推公式需要把它初始化成什么，在第 1 天变为持有的状态 dp[1][0]=Math.max（dp[0][0]，Math.max（dp[0][3]-prices[0]，dp[0][1]-prices[0]））可以看出应该把 dp[0][1] 初始化为 0；dp[0][2] 也是初始化为 0，同理是个不合理的状态，或者理解为当天买当天卖；dp[0][3]=0，同样是不合理的状态
- 遍历顺序：根据递推公式就是从前往后遍历。最终返回 Math.max（dp[prices.length-1][1]，Math.max（dp[prices.length-1][2]，dp[prices.length-1][3]））即将后面的三个状态取最大值
- 打印 dp 数组：用于 debug
1.2 代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int len=prices.length-1; int[][] dp=new int[prices.length][4]; dp[0][0]=-prices[0]; for(int i=1;i<prices.length;i++){ dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][3]-prices[i],dp[i-1][1]-prices[i])); dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]); dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]; dp[i][3]=dp[i-1][2]; } return Math.max(dp[len][1],Math.max(dp[len][2],dp[len][3])); } }
2. LeetCode 714. 买卖股票的最佳时机含手续费
2.1 思路
- 本题是在122. 买卖股票的最佳时机 II的基础上在卖出的时候多加了手续费
- dp 数组及其下标的含义：dp[i][1] 是不持有股票的最大现金，dp[i][0] 是持有股票的最大现金
- 递推公式：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i])即保持前一天持有的状态，或者前一天不持有然后买入；dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee)即保持前一天不持有的状态，或者前一天持有然后卖出的状态再减去手续费
- dp 数组的初始化：dp[0][0]=-prices[0]，dp[0][1]=0
- 遍历顺序：从前往后
- 打印 dp 数组：用于 debug
2.2 代码
/** * 卖出时支付手续费 * @param prices * @param fee * @return */ public int maxProfit(int[] prices, int fee) { int len = prices.length; // 0 : 持股（买入） // 1 : 不持股（售出） // dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金 int[][] dp = new int[len][2]; dp[0][0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]); } return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]); }
3. 股票系列总结
3.1 121. 买卖股票的最佳时机
在数组中只能买卖一次，定义了两个状态，dp[i][0] 持有，dp[i][1] 不持有
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i] 所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0] 所以dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
3.2 122. 买卖股票的最佳时机 II
在数组中可以买卖多次了，和121. 买卖股票的最佳时机一样，也是定义两个状态，dp[i][0] 持有，dp[i][1] 不持有
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
注意：在121. 买卖股票的最佳时机中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0] 所以dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
3.3 123. 买卖股票的最佳时机 III
在数组中至多买卖两次，定义了五个状态，第 i 天 dp[i][0] 表示不操作，dp[i][1] 表示第 1 次持有，dp[i][2] 表示第 1 次不持有，dp[1][3] 表示第 2 次持有，dp[i][4] 表示第 2 次不持有
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
- 即dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
- 所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3.4 188. 买卖股票的最佳时机 IV
在数组中至多买卖 k 次，和123. 买卖股票的最佳时机 III其实一样的，只是做了个抽象化，dp 数组的二维的下标通过一个变量来表示，方便至多买卖 k 次，表示对应的状态
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
- dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
- dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可以类比剩下的状态
3.5 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
含有冷冻期，这里其实也算是两个状态 dp[i][0] 持有，dp[i][1] 不持有，但把不持有分成 3 个状态了，变为 dp[i][1] 保持卖出的状态，dp[i][2] 具体卖出的状态，dp[i][3] 冷冻期
dp[i][j]：第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
- 状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
- 卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
- 状态三：今天卖出了股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
所以操作二取最大值，即：max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
- 操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
- 操作一：昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
3.6 714. 买卖股票的最佳时机含手续费
就是在122. 买卖股票的最佳时机 II的基础上卖出的时候多了手续费
dp数组的含义：
dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
