三、矩阵求值
1、方阵的行列式
det(A)：表示求矩阵A对应行列式的值
2、矩阵的秩
rank(A)：表示求矩阵A的秩
3、矩阵的迹
trace(A)：表示求矩阵A的迹
（或者提取矩阵A的主对角线元素再求和：sum(diag(A))）
4、向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度
(1)向量的3种常见范数
- 向量1-范数：向量元素的绝对值之和。MATLAB中，用函数norm(V,1)来计算。
向量2-范数：向量元素绝对值的平方和的平方根。MATLAB中，用函数norm(V,2)或者norm(V)来计算。
-向量∞-范数：所有向量元素绝对值中的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,inf)来计算。
(2)矩阵的范数
- 矩阵1-范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,1)来计算。
- 向量2-范数：A’A矩阵的最大特征值的平方根。MATLAB中，用函数norm(A,2)或者norm(A)来计算。
-向量∞-范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,inf)来计算。
(3)矩阵的条件数
矩阵的条件数：是描述矩阵性能的一个参数，矩阵A的条件数等于A的范数于A的逆矩阵的范数的乘积。
矩阵的条件数越接近1，矩阵的性能越好。反之则越差。所谓性能，即矩阵的稳定性。
- cond(A,1)：计算矩阵A的1-范数下的条件数
- cond(A)或cond(A,2)：计算矩阵A的-范数下的条件数
- cond(A,inf)：计算矩阵A的∞-范数下的条件数
例子：求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数
可见当阶数越大，希尔伯特矩阵的条件数越大，因此其性能越差。
四、矩阵的特征值和特征向量
1、求矩阵的特征值和特征向量
- E=eig(A)函数：求矩阵A的全部特征值，构成向量E
- [X,D]=eig(A)函数：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
2、矩阵特征值的几何意义
设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为x。y=Ax=λx，由此可见，向量x经由矩阵A变换得到y，等同于向量x沿着原来方向伸缩λ倍。
例子：已知大写字母M的各结点坐标如表所示：
| x | 0 | 0.5 | 0.5 | 3 | 5.5 | 5.5 | 6 | 6 | 3 | 0 |
| y | 0 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | 8 | 1 | 8 |
(1)绘制M图
(2)用矩阵A=[1,0.5;0,1]，对M的结点坐标进行变换，并绘制图像
可见：M原先是正体，而后变成斜体。因此，在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
五、稀疏矩阵
稀疏矩阵：零元素个数大于非零元素个数的矩阵。
1、矩阵的存储方式
- 完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储
- 稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。
当稀疏矩阵很大时，采用稀疏存储方式，可以极大的减少存储空间。
2、稀疏存储方式的产生
(1)完全存储方式和稀疏存储方式之间的转化
- A=sparse(B)：将矩阵B转化为稀疏存储方式的矩阵A
- B=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵B
(2)直接建立稀疏存储矩阵
- sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵
- sparse(u,v,S)：其中u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i),v(i)分别是S(i)的行和列下标。
- B=spconvert(A)：直接建立稀疏存储矩阵。其中A为一个m* 3或m*4的矩阵，每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数。
A(i,1)表示第i个非零元素所在的行
A(i,2)表示第i个非零元素所在的列
A(i,3)表示第i个非零元素值的实部
A(i,4)表示第i个非零元素值的虚部
若矩阵的全部元素都为实数，则无需第4列
(3)带状稀疏矩阵的稀疏存储
稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。
- [B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
r=min(m,n)，若非零对角线上元素个数等于r，则取全部元素。否则，应该用零补足。
（补零原则：若行数<列数，即m<n，则d<0在前面补0，d>0时在后面补。若行数≥列数，即m≥n，则d<0在后面补0，d>0时在前面补。
- A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m,n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置
(4)单位矩阵的稀疏存储
speye(m,n)：返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵。
3、稀疏矩阵应用举例
总结
