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✍一、MATLAB数据类型和运算符
💎1 MATLAB的数据类型
🌹1.1 特殊常量
MATLAB有些固定的变量，称为特殊常量。这些特殊常量具有特定的意义，用户在定义变量名时应避免使用。
在MATLAB语言中，需要知道程序或者代码的运行时间，可以使用计时函数tic/toc，和etime两种方法实现。
（1）tic/toc方法
例如：
tic
%程序段
toc%返回时间就是程序运行时间
（2）etime方法
函数命令格式为：
etime(t2,t1)
其中t2和t1可以使用clock函数获得。
例如：
t1=clock
%程序段
🌹1.2 变量
变量是其值可以改变的量，是数值计算的基本单元。MATLAB变量使用无需事先定义和声明，也不需要指定变量的数据类型。可以自动根据变量值或对变量操作来识别变量类型。在变量赋值过程中，自动使用新值替换旧值，用新值类型替换旧值类型。
变量的命名规则：
（1）变量名由字母、数字和下划线组成，且第一个字符为字母，不能有空格和标点符号。例如：“1a”，“a 1”、“_a”“a%”、“b-1”和“变量a”都是不合法的变量名。
（2）变量名区分大小写。例如P1Q,p1q,P1q,p1Q是四个不同的变量。
（3）变量名的长度上限为63个字符，第63个字符后面的字符被忽略。
（4）关键字或者系统的函数名。
🌹1.3 整数
MATLAB R2020a提供8种常见的整数类型，可以使用类型转换函数将各种整数类型强制互相转换。下表给出MATLAB各种整数类型的取值范围和类型转换函数。
🌹1.4 浮点数
浮点数包括单精度型（single）和双精度型（double），默认的数据类型是双精度型。单精度型取值范围是
；双精度型取值范围是 ，浮点数类型可以用类型转换函数single ( )和double（）互相转换。
>> y1=int8(1.6e16) %将浮点数强制转换为有符号8位整数
y1 = 127
>> y2=int16(1.6e16) %将浮点数强制转换为有符号16位整数
y2= 32767
>> y3=int8(2.65) % 将浮点数强制转换为有符号8位整数
y3 = 3
>> y4=uint8(-3.2) % 8位无符号整数最小值是0
y4 = 0
>> y5=1/3 % MATLAB默认的数据类型是双精度型
y5 = 0.3333
>> y6=single(1/3) % 用single（）函数，将双精度型强制转换为单精度型
y6 = 0.3333
🌹1.5 复数
MATLAB用特殊变量i或j表示虚数的单位。MATLAB中复数运算可以直接进行。复数z可以通过以下几种方式产生：
z=a+bi或者z=a+bj %其中a为实部，b为虚部
z=a+bi或者z=a+bj
z=rexp（ithetha） %其中r为半径，thetha为相角（以弧度为单位）
z=complex（a,b）
z=a+b*sqrt(-1)
MATLAB复数运算常见函数如下表所示：
💎2 MATLAB运算符
三种常见运算符：算术运算符、关系运算符和逻辑运算符
🌹2.1 算术运算符
（1）加、减、乘和乘方运算规则与传统的数学定义一样，用法也相同。
（2）点运算是指对应元素点对点运算，要求参与运算矩阵的维度要一样。点左除与点右除不一样，A./B是指A的对应元素除以B的对应元素，A.\B是指B的对应元素除以A的对应元素。
（3）MATLAB除法相对复杂些，对于单个数值运算，右除和传统除法一样，即a/b=a÷b；而左除与传统除法相反，即a\b=b÷a。对于矩阵运算，左除A\B相当于矩阵方程组 的解，即X=A\B=inv（A）B； 右除B/A相当于矩阵方程组 的解，即X=B/A= Binv（A）。
下图是MATLAB中常用的数学函数：
说明：
（1）abs函数可以求实数的绝对值，复数的模和字符串的ASII值，比如：abs（-2.3）=2.3；abs(3+4i)=5； abs(‘a’)=97。
（2）MATLAB语言有四个取整的函数：round，fix，floor和ceil，它们之间是有区别的。比如：round（1.49）=1；fix(1.49)=1；floor（1.49）=1；ceil（1.49）=2。round（-1.51）=-2；fix（-1.51）=-1；floor（-1.51）=-2；ceil（-1.51）=-1。
（3）MATLAB语言中以自然对数函数是log10（x），而不是lg（x），自然对数函数是exp（x），而不是e^(x)。
（4）符号函数sign（x）的值有三种，当x=0，sign（x）=0；当x>0, sign（x）=1；当x<0, sign（x）=-1。
（5）MATLAB语言三角函数都是对弧度操作，使用三角函数时候，需要将度变换为弧度，变换公式为：弧度=2pi(度/360)。比如：数学上的sin(60)，MATLAB语言应该写成：sin（2pi60/360）。
🌹2.2 关系运算符
MATLAB语言有大于、大于等于、小于、小于等于、等于和不等于六种常见关系运算符，如下表所示：
注意：关系运算符主要用于数与数、数与矩阵元素、矩阵与矩阵之间元素进行比较，返回两者之间的关系的矩阵（由数0和1组成），0和1分别表示关系不满足和满足。矩阵与矩阵之间进行比较时，两个矩阵的维度要一样。
🌹2.3 逻辑运算符
4种逻辑运算符：&（与）、|（或）、~（非）和xor（异或）。
运算规则：
（1）在逻辑运算中，所有非零元素均被认为真，用1表示；零元素为假，用0表示。
（2）如果两个同维矩阵参与逻辑运算，矩阵对应元素按标量规则进行逻辑运算，得到同维的由1或者0构成的矩阵。
（3）如果一个标量和一个矩阵参与逻辑运算，标量和矩阵的每个元素按标量规则进行逻辑运算，得到同维的由1或者0构成的矩阵。
🌹2.4 优先级
算术运算符优先级最高，关系运算符次之，逻辑运算符为最低。即程序先执行算术运算，然后执行关系运算，最后执行逻辑运算。在逻辑“与”、“或”、“非”三种运算符中，“非”的优先级最高，“与”和“或”的优先级相同，即从左往右执行。实际应用中，可以通过括号来调整运算的顺序。
例如：
>> q=(1>2|2<1+2) q = 1
其中，MATLAB先执行算术运算：1+2=3，然后执行关系运算1>2为0，和2<3为1，最后执行逻辑运算0|1=1。
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✍二、矩阵的创建
MATLAB各种数据类型都是以矩阵形式存在，大部分运算都是基于矩阵运算，矩阵主要分为三类：数值矩阵，符号矩阵和特殊矩阵
💎1 直接输入矩阵
MATLAB语言最简单的创建矩阵方法是通过键盘在命令窗口直接输入矩阵，直接输入法的规则是：
- 将所有矩阵元素置于一对方括号“[ ]”内；
- 同一行不同元素之间用逗号“，”或者空格符来分隔；
- 不同行用分号“；”或者回车符分隔。
例如：
在命令空间输入：
>> A=[1 2;3 4] %元素之间用空格符分隔，换行用分号 A =1 2
3 4
MATLAB语言创建复数矩阵，方法和创建一般实数矩阵一样，虚数单位用i或者j表示。
- 虚部和虚数单位之间可以使用乘号“”连接，也可以忽略乘号“”；
- 复数矩阵元素可以用运算表达式；
- 虚数单位用i或者j，显示时都是i。
例如，创建复数矩阵：
>> B=[1+2i,2-3*j;2+2*sqrt(-2),3.5j] B = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 3.0000i 2.0000 + 2.8284i 0.0000 + 3.5000i
💎2 冒号生成矩阵
利用冒号“：” 产生步长相等的一维数组或行向量。其格式为：
x=a:step:b
- a是数组或者行向量的第一个元素，b是最后一个元素，step是步长增量；
- 冒号表达式可以产生一个由a开始到b结束，以步长step自增或自减（步长为负值，b
- 如果步长step=1，则冒号表达式可以省略步长，直接写为x=a:b。
例如：
>> x1=1:1:10 x1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> x2=1:10 x2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> x3=10:-2:0 x3 = 10 8 6 4 2 0
💎3 利用函数生成矩阵
🌹3.1 linspace函数
可以用linspace函数生成初值、终值和元素个数已知的一维数组或者行向量，元素之间是等差数列。其调用格式如下：
x=linspace(a,b,n)
- a和b分别是生成一维数组或者行向量的初值和终值，n是元素总数。当n省略时候，自动产生100个元素；
- linspace函数产生的一维数组或者行向量，n个元素是等差数列；
- 当a>b,元素之间是等差递减；当a
- 显然，linspace(a,b,n)与a: (b-a)/(n-1): b是等价的。
例如：
>> x1=linspace(0,10,5) x1 = 0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000
>> x2=linspace(10,0,5) x2 = 10.0000 7.5000 5.0000 2.5000 0
>> x3=10:(0-10)/(5-1):0 x3 =10.0000 7.5000 5.0000 2.5000 0
🌹3.2 logspace函数
MATLAB语言可以用logspace函数生成一维数组或者行向量，元素之间也是对数等比数列。其调用格式如下.
x=logspace(a,b,n)
其中：
- 第一个元素为10a，最后一个元素为10b，元素个数为n的对数等比数列；
- 如果b的值为pi，则该函数产生到pi之间n个对数等比数列。
例如：
>> x1=logspace(1,2,10) x1 = 10.0000 12.9155 16.6810 21.5443 27.8256 35.9381 46.4159 59.9484 77.4264 100.0000
>> x2=logspace(1,pi,10) x2 = 10.0000 8.7928 7.7314 6.7980 5.9774 5.2558 4.6213 4.0634 3.5729 3.1416
💎4 利用文本文件生成矩阵
矩阵还可以由文本文件生成，即先建立txt数据文件，然后在命令窗口直接调用该文件，就能产生数据矩阵。需要注意，txt文件中不含变量名称，文件名为矩阵变量名，每行数值个数相等。
优点：可以将数据存储在文本文件中，利用load函数，直接将数据读入工作空间中，自动生成矩阵，而不需要手动输入数据。
例如：
利用文本文件建立矩阵A，其中
把下面代码另存为工作目录中，文件名为A.txt文件。
1 2
3 4
>> load A.txt >> A A = 1 2 3 4
💎5 利用M文件生成矩阵
对于一些比较大的常用矩阵，可以立一个M文件，在命令窗口中调用文件，适合大型矩阵创建，便于修改。需要注意，M文件中的矩阵变量名不能与文件名相同，否则变量名和文件名会混乱。
例如：
%定义exam_2_2.m函数，将下面代码另存为工作目录下的
A=[34 32 30 28 26 24
32 30 28 26 24 22
30 28 26 24 22 20
28 26 24 22 20 18
26 24 22 20 18 16]
>> exam_2_2 A = 34 32 30 28 26 24 32 30 28 26 24 22 30 28 26 24 22 20 28 26 24 22 20 18 26 24 22 20 18 16
💎6 特殊矩阵的生成
MATLAB语言中内置了许多特殊矩阵的生成函数，可以通过这些函数自动生成具有不同特殊性质的矩阵。下表是MATLAB语言常见特殊矩阵函数。
🌹6.1 单位矩阵
MATLAB语言生成单位矩阵的函数是eye，其调用格式如下：
A1=eye(n);
A2=eye(m,n)。
其中：
A1=eye(n)表示生成n行n列的单位矩阵；
A2=eye(m,n)表示生成m行n列的单位矩阵。
例如：
>> A1=eye(3) A1= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
>> A2=eye(2,3) A2 = 1 0 0 0 1 0
🌹6.2 0矩阵
MATLAB语言生成所有元素为0的矩阵函数是zeros，其调用格式如下：
A1=zeros(n);
A2=zeros(m,n)。
其中：
A1= zeros(n)表示生成n行n列的0矩阵；
A2=zeros(m,n)表示生成m行n列的0矩阵。
例如：
>> A1=zeros(3) A1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
>> A2=zeros(1,3) A 2= 0 0 0
🌹6.3 1矩阵
MATLAB语言生成所有元素为1的矩阵函数是ones，其调用格式如下：
A1=ones(n);
A2=ones(m,n)。
其中：
- A1= ones(n)表示生成n行n列的1矩阵；
- A2=ones(m,n)表示生成m行n列的1矩阵。
例如：
>> A1=ones(3) A1= 1 1 1 1 1 1 1 1 1
>> A2=ones(2,3) A2 =1 1 1 1 1 1
🌹6.4 魔方矩阵
魔方矩阵是指行、列、正和反斜对角线元素之和都相等的矩阵，MATLAB语言用magic函数生成魔方矩阵，其调用格式如下：
A=magic(n)
其中，A=magic(n)表示生成n行n列的魔方矩阵，n>0且n≠2 。
例如：
>> A=magic(3) A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2
>> B=sum(A) %计算每列的和 B = 15 15 15
>> C=sum(A') %计算每行的和 C = 15 15 15
显然，由B和C结果可知，矩阵A是一个魔方矩阵。
🌹6.5 0~1均匀分布随机矩阵
MATLAB语言生成0~1均匀分布的随机矩阵函数是rand，其调用格式如下：
- A1= rand(n)表示生成 n*n个元素值为0~1均匀分布的随机矩阵；
- A2= rand(m, n)表示生成m*n 个元素值为0~1均匀分布的随机矩阵；
- A3=a+(b-a)rand(m,n) 表示生成mn 个元素值为a~b均匀分布的随机矩阵。
例如：
>> A1=rand(3) A1 = 0.8147 0.9134 0.2785 0.9058 0.6324 0.5469 0.1270 0.0975 0.9575
>> A3 = 10 + (15 - 10)*rand(2,3) A3 = 10.7094 14.5787 14.7975 12.1088 13.9610 13.2787
🌹6.6 正态分布随机矩阵
MATLAB语言生成均值为0，单位方差的正态分布的随机矩阵函数是randn，其调用格式如下：
- A1= randn(n)表示生成 n*n个元素且均值为0，单位方差的正态分布的随机矩阵；
- A2= randn(m, n)表示生成m*n 个元素的正态分布随机矩阵；
- A3=a+sqrt(b)*randn(m,n) 表示均值为a，方差为b。
例如：
>> A1=randn(3) A1 = -1.2075 0.4889 -0.3034 0.7172 1.0347 0.2939 1.6302 0.7269 -0.7873
>> A3 = 1 + sqrt(0.1)*randn(2,3) % 均值为1，方差为0.1 A3 = 1.1028 1.4333 0.9677 0.7613 0.4588 0.9236
🌹6.7 对角矩阵
MATLAB语言生成对角矩阵函数是diag，其调用格式如下：
A=diag(v,k)表示生成以向量v元素作为矩阵A的第k条对角线元素的对角矩阵。
当k=0时，v 为A的主对角线；当k>0时，为主对角线上方第k条对角线元素；当k<0时，为主对角线下方第k条对角线元素。
例如：
>> v=[3 2 1];
>> A1=diag(v) A1 = 3 0 0 0 2 0 0 0 1
>> A2=diag(v,1) A2 = 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0
若A是一个矩阵，则diag(A)是提取矩阵A的对角线矩阵。
>> A=[1 2 3;4 5 6]； >> B=diag(A) B = 1 5
🌹6.8 三角矩阵
MATLAB语言生成三角矩阵函数是tril和triu，其调用格式如下：
- A1=tril(A,k)表示生成矩阵A中第k条对角线的下三角部分的矩阵；
- A1=triu(A,k)表示生成矩阵A中第k条对角线的上三角部分的矩阵；
其中， k=0为A的主对角线，k>0为A的主对角线以上， k<0为A的主对角线以下。
例如：
>> A=ones(4); >> L=tril(A,-2) L = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
>> U=triu(A,0) U = 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
