第6章 数据分析——6.3 函数的极限

6.3  函数的极限

极限理论是微积分学的基础理论。在MATLAB中，采用limit计算数量或函数的极限。

6.3.1  极限的概念

设{x_n}为数列，a为常数。若对任意的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣x_n -a∣<ε，则称数列{ x_n }收敛于a，常数a称为数列{ x_n }的极限，并记作

6.3.2  求极限的函数

当x→x₀^-时，若函数f(x)以a为极限，则称为函数f(x)当x→x₀^-时，以a为左极限；当x→x₀⁺时，若函数f(x)以a为极限，则称为函数f(x)当x→x₀⁺时，以a为右极限。左极限和右极限统称单侧极限，当左极限和右极限同时存在且相等时，称函数f(x)在x₀处的极限存在且等于a。

在MATLAB中采用limit函数求某个具体函数的极限，其常用的调用格式如下。

● limit(expr,x,a)：当x→a时，对函数expr求极限，返回值为函数极限。

● limit(expr)：默认当x→0时，对函数expr求极限，返回值为函数极限。

● limit(expr,x,a,'left')：当x→a时，对函数expr求其左极限，返回值为函数极限。

● limit(expr,x,a,'right')：当x→a时，对函数expr求其右极限，返回值为函数极限。

例6-20：对于数列{n/(3n+1)}，当n趋于无穷大时，求其极限。

在命令行窗口中输入：

clear all
n = 1 : 200;
y = n ./ (3 * n + 1);
figure;
plot(n, y);
syms x;
f = x / (3 * x + 1);
z = limit(f, x, inf)

输出结果如下（见图6-7）：

z =
1/3

图6-7  数列的极限

例6-21：求极限 。

在命令行窗口中输入：

clear all
syms x;
f = (3 * x^2)/(3 * x^2 - 2 * x + 1);
z = limit(f, x, 1)

输出结果：

z =
3/2

例6-22：求极限 。

在命令行窗口中输入：

clear all
syms x;
f = sin(sin(x))/x - 1;
z = limit(f, x, 0)

输出结果：

z =
0