第6章 数据分析——6.4 函数数值积分

6.4  函数数值积分

定积分的计算可用牛顿-莱布尼茨公式：

其中，F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。然而在实际问题中，在应用上述公式时往往会遇到一系列的问题。

● 被积函数f(x)是使用函数表格提供的。

● 被积函数表达式极为复杂，求不出原函数；或者求出的原函数的形式很复杂，不利于计算。

● 大量函数的原函数不容易或者根本无法求出，例如正弦型积分 等，根本无法用初等函数来表示其原函数，因而无法精确计算其定积分。

数值积分便是为了解决上述问题而提出来的。数值积分只需计算f(x)在节点x_i(i=1,2,…，n)上的值，计算方便且适合在计算机上实现。

6.4.1  数值积分问题的数学表述

区间[a, b]上的定积分 ，就是在区间[a, b]内取n+1个点x₀,x₁,…,x_n，利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即

其中，x_k称为积分节点，A_k称为求积系数。右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式。因此，求积分的关键在于积分节点x_k的选取及积分系数A_k的确定。

MATLAB支持三重以下的积分运算，分别为： 、 、 。在计算积分值时，要求积分区间是确定的。

6.4.2  一元函数的数值积分

本节将讨论f(x)为一元函数时的积分情况。MATLAB为一元函数的数值积分提供了3个函数，分别为quad、quadl、quadv。下面将对这3个函数进行介绍。

1．quad函数

quad函数采用遍历的自适应辛普森（Simpson）法计算函数的数值积分，适用于精度要求低、被积函数平滑性较差的数值积分。常用的调用格式如下：

● Q=quad(FUN,A,B)。

● Q=quad(FUN,A,B,TOL)。

● Q=quad(FUN,A,B,TOL,TRACE)。

● [Q,FCNT]=quad(...)。

式中，FUN为被积函数的句柄，FUN应该接收向量输入，并输出相同长度的向量。A、B分别为积分的起始值和结束值。TOL用于控制自适应辛普森法的误差，增大TOL可以加快计算速度，但是计算精度会下降。在默认情况下，TOL=1.0e-6。当TRACE值非0时，函数输出计算过程中的[fcnt a b-a Q]。FCNT表示函数计算的次数。

2．quadl函数

quadl函数采用遍历的自适应Lobatto法计算函数的数值积分，适用于精度要求高、被积函数曲线比较平滑的数值积分。其用法与quad函数相同，分别如下：

● Q=quadl(FUN,A,B)。

● Q=quadl(FUN,A,B,TOL)。

● Q=quadl(FUN,A,B,TOL,TRACE)。

● [Q,FCNT]=quadl(...)。

式中各输入参数和输出参数的含义同quad函数。

通常quad函数具有较快的计算速度，但是准确性较差；而quadl函数需要更多的计算时间，但是具有较高的准确性。

3．quadv函数

有的时候，被积函数f(x)是一系列的函数，如下述积分：

当k取不同的数值时，该积分的结果也不尽相同。针对这种情况，MATLAB提供了quadv函数，可以一次计算多个一元函数的数值积分值。

quadv函数是quad函数的矢量扩展，因此也称为矢量积分。其用法与quad函数相同，分别如下：

● Q=quadv(FUN,A,B)。

● Q=quadv(FUN,A,B,TOL)。

● Q=quadv(FUN,A,B,TOL,TRACE)。

● [Q,FCNT]=quadv(...)。

式中各输入参数和输出参数的含义同quad函数。矢量积分的结果是一个向量。

quad、quadl、quadv 3个函数都要求被积函数FUN必须是函数句柄，同时积分限[a, b]必须是有限的，因此不能为inf。此外，在使用上述3个函数进行数值积分的求解时，可能会出现如下几种错误信息。

● 'Minimum step size reached'：意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算。原因可能是有不可积的奇点。

● 'Maximum function count exceeded'：意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点。

● 'Infinite or Not-a-Number function value encountered'：意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除的情况。

例6-23：计算积分 。

在命令行窗口中输入：

clear all;
F = @(x) 1 ./ (x.^3 - 2 * x - 5);
Q = quad(F, 0, 2)

输出结果：

Q =
   -0.4605

6.4.3  多重数值积分

本节将讨论被积函数为二元函数f(x, y)和三元函数f(x, y, z)的情况。MATLAB提供了dblquad函数和triplequad函数，分别用于计算二重数值积分和三重数值积分。

1．二重数值积分计算函数dblquad

dblquad函数可以用来计算被积函数在矩形区域x∈[x_min, x_max]，y∈[y_min, y_max]内的数值积分值。该函数先计算积分值，然后利用内积分的中间结果来计算二重积分。根据dxdy的顺序，称x为内积分变量，y为外积分变量。dblquad函数的调用格式如下：

● Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX)。

● Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL)。

● Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL,@QUADL)。

● Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL,MYQUADF)。

式中，FUN为被积函数的句柄；XMIN、XMAX、YMIN、YMAX分别为矩形区域在x和y两个方向上的积分限；TOL指定绝对计算精度；@QUADL和MYQUADF用以指定计算一维积分时采用的函数，MATLAB默认采用quad函数来计算一维积分，@QUADL表示用户指定采用quadl函数来计算一维积分，MYQUADF则表示采用用户自己编写的一维积分函数。

例6-24：计算积分 。

在命令行窗口中输入：

clear all;
f = @(x, y) y * sin(x) + 3 * cos(y) - 1;
xmin = pi;
xmax = 2 * pi;
ymin = 0;
ymax = pi;
q = dblquad(f, xmin, xmax, ymin, ymax)

输出结果：

q =
  -19.7392

2．三重数值积分计算函数triplequad

triplequad函数可以用来计算被积函数在空间区域x∈[x_min, x_max]，y∈[y_min, y_max]，z∈[z_min, z_max]内的数值积分值。该函数的调用格式如下：

● Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX)。

● Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL)。

● Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL,@QUADL)。

● Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL,MYQUADF)。

上式中相关参数的含义同dblquad函数。

计算三重数值积分可以用函数triplequad来实现，其用法与计算二重数值积分类似。

本章小结

针对数据分析和处理，MATLAB提供了大量的函数供用户使用。本章介绍了MATLAB强大的数据分析和处理功能，主要包括多项式函数、插值函数、数组和函数极限的求解过程及函数的数值积分计算。可以看出利用MATLAB进行数据分析非常灵活，读者需要熟练掌握。