要想入门以及往下理解深度学习，其中一些概念可能是无法避免地需要你理解一番，比如：
- 什么是感知器
- 什么是神经网络
- 张量以及运算
- 微分
- 梯度下降
带着问题出发
在开始之前希望你有一点机器学习方面的知识，解决问题的前提是提出问题，我们提出这样一个问题，对 MNIST数据集进行分析，然后在解决问题的过程中一步一步地来捋清楚其中涉及到的概念
MNIST数据集是一份手写字训练集，出自 MNIST，相信你对它不会陌生，它是机器学习领域的一个经典数据集，感觉任意一个教程都拿它来说事，不过这也侧面证明了这个数据集的经典，这里简单介绍一下：
- 拥有60,000个示例的训练集，以及10,000个示例的测试集
- 图片都由一个28 ×28 的矩阵表示，每张图片都由一个784 维的向量表示
- 图片分为10类， 分别对应从0～9，共10个阿拉伯数字
压缩包内容如下：
- train-images-idx3-ubyte.gz: training set images (9912422 bytes)
- train-labels-idx1-ubyte.gz: training set labels (28881 bytes)
- t10k-images-idx3-ubyte.gz: test set images (1648877 bytes)
- t10k-labels-idx1-ubyte.gz: test set labels (4542 bytes)
上图：
图片生成代码如下：
%matplotlib inline import matplotlib import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from keras.datasets import mnist (train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data() def plot_digits(instances, images_per_row=10, **options): size = 28 images_per_row = min(len(instances), images_per_row) images = instances n_rows = (len(instances) - 1) // images_per_row + 1 row_images = [] n_empty = n_rows * images_per_row - len(instances) images.append(np.zeros((size, size * n_empty))) for row in range(n_rows): rimages = images[row * images_per_row : (row + 1) * images_per_row] row_images.append(np.concatenate(rimages, axis=1)) image = np.concatenate(row_images, axis=0) plt.imshow(image, cmap = matplotlib.cm.binary, **options) plt.axis("off") plt.figure(figsize=(9,9)) plot_digits(train_images[:100], images_per_row=10) plt.show()
不过你不用急着尝试，接下来我们可以一步一步慢慢来分析手写字训练集
看这一行代码：
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
MNIST数据集通过 keras.datasets加载，其中 train_images和 train_labels构成了训练集，另外两个则是测试集：
- train_images.shape: (60000, 28, 28)
- train_labels.shape: (60000,)
我们要做的事情很简单，将训练集丢到神经网络里面去，训练后生成了我们期望的神经网络模型，然后模型再对测试集进行预测，我们只需要判断预测的数字是不是正确的即可
在用代码构建一个神经网络之前，我先简单介绍一下到底什么是神经网络，让我们从感知器开始
感知器
感知器是Frank Rosenblatt提出的一个由两层神经元组成的人工神经网络，它的出现在当时可是引起了轰动，因为感知器是首个可以学习的神经网络
感知器的工作方式如下所示：
左侧三个变量分别表示三个不同的二进制输入，output则是一个二进制输出，对于多种输入，可能有的输入成立有的不成立，在这么多输入的影响下，该如何判断输出output呢？Rosenblatt引入了权重来表示相应输入的重要性
此时，output可以表示为：
上面右侧的式子是一个阶跃函数，就是和Sigmoid、Relu一样作用的激活函数，然后我们就可以自己实现一个感知器：
import numpy as np class Perceptron: """ 代码实现 Frank Rosenblatt 提出的感知器的与非门，加深对感知器的理解 blog: https://www.howie6879.cn/post/33/ """ def __init__(self, act_func, input_nums=2): """ 实例化一些基本参数 :param act_func: 激活函数 """ # 激活函数 self.act_func = act_func # 权重 已经确定只会有两个二进制输入 self.w = np.zeros(input_nums) # 偏置项 self.b = 0.0 def fit(self, input_vectors, labels, learn_nums=10, rate=0.1): """ 训练出合适的 w 和 b :param input_vectors: 样本训练数据集 :param labels: 标记值 :param learn_nums: 学习多少次 :param rate: 学习率 """ for i in range(learn_nums): for index, input_vector in enumerate(input_vectors): label = labels[index] output = self.predict(input_vector) delta = label - output self.w += input_vector * rate * delta self.b += rate * delta print("此时感知器权重为{0}，偏置项为{1}".format(self.w, self.b)) return self def predict(self, input_vector): if isinstance(input_vector, list): input_vector = np.array(input_vector) return self.act_func(sum(self.w * input_vector) + self.b) def f(z): """ 激活函数 :param z: (w1*x1+w2*x2+...+wj*xj) + b :return: 1 or 0 """ return 1 if z > 0 else 0 def get_and_gate_training_data(): ''' AND 训练数据集 ''' input_vectors = np.array([[1, 1], [1, 0], [0, 1], [0, 0]]) labels = np.array([1, 0, 0, 0]) return input_vectors, labels if __name__ == '__main__': """ 输出如下： 此时感知器权重为[ 0.1 0.2]，偏置项为-0.2 与门 1 and 1 = 1 1 and 0 = 0 0 and 1 = 0 0 and 0 = 0 """ # 获取样本数据 and_input_vectors, and_labels = get_and_gate_training_data() # 实例化感知器模型 p = Perceptron(f) # 开始学习 AND p_and = p.fit(and_input_vectors, and_labels) # 开始预测 AND print('1 and 1 = %d' % p_and.predict([1, 1])) print('1 and 0 = %d' % p_and.predict([1, 0])) print('0 and 1 = %d' % p_and.predict([0, 1])) print('0 and 0 = %d' % p_and.predict([0, 0]))
S型神经元
神经元和感知器本质上是一样的，他们的区别在于激活函数不同，比如跃迁函数改为Sigmoid函数
神经网络可以通过样本的学习来调整人工神经元的权重和偏置，从而使输出的结果更加准确，那么怎样给⼀个神经⽹络设计这样的算法呢？
以数字识别为例，假设⽹络错误地把⼀个9的图像分类为8，我们可以让权重和偏置做些⼩的改动，从而达到我们需要的结果9，这就是学习。对于感知器，我们知道，其返还的结果不是0就是1，很可能出现这样一个情况，我们好不容易将一个目标，比如把9的图像分类为8调整回原来正确的分类，可此时的阈值和偏置会造成其他样本的判断失误，这样的调整不是一个好的方案
所以，我们需要S型神经元，因为S型神经元返回的是[0,1]之间的任何实数，这样的话权重和偏置的微⼩改动只会引起输出的微⼩变化，此时的output可以表示为σ(w⋅x+b)，而σ就是S型函数，S型函数中S指的是Sigmoid函数，定义如下：
神经网络
神经网络其实就是按照一定规则连接起来的多个神经元，一个神经网络由以下组件构成：
- 输入层：接受传递数据，这里应该是 784 个神经元
- 隐藏层：发掘出特征
- 各层之间的权重：自动学习出来
- 每个隐藏层都会有一个精心设计的激活函数，比如Sigmoid、Relu激活函数
- 输出层，10个输出
- 上⼀层的输出作为下⼀层的输⼊，信息总是向前传播，从不反向回馈：前馈神经网络
- 有回路，其中反馈环路是可⾏的：递归神经网络
从输入层传入 手写字训练集，然后通过隐藏层向前传递训练集数据，最后输出层会输出10个概率值，总和为1。现在，我们可以看看 Keras代码:
第一步，对数据进行预处理，我们知道，原本数据形状是 (60000,28,28)，取值区间为 [0,255]，现在改为 [0,1]：
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) train_images = train_images.astype('float32') / 255 test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28)) test_images = test_images.astype('float32') / 255
然后对标签进行分类编码：
from keras.utils import to_categorical train_labels = to_categorical(train_labels) test_labels = to_categorical(test_labels)
第二步，编写模型：
from keras import models from keras import layers network = models.Sequential() network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,))) network.add(layers.Dense(10, activation='softmax') network.compile(optimizer='rmsprop',loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy']) network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)
一个隐藏层，激活函数选用 relu，输出层使用 softmax返回一个由10个概率值（总和为 1）组成的数组
训练过程中显示了两个数字：一个是网络在训练数据上的损失 loss，另一个是网络在 训练数据上的精度 acc
很简单，我们构建和训练一个神经网络，就这么几行代码，之所以写的这么剪短，是因为 keras接接口封装地比较好用，但是里面的理论知识我们还是需要好好研究下
神经网络的数据表示
TensorFlow里面的 Tensor是张量的意思，上面例子里面存储在多维Numpy数组中的数据就是张量：张量是数据容器，矩阵就是二维张量，张量是矩阵向任意维度的推广，张量的维度称为轴
标量
包含一个数字的张量叫做标量（0D张量），如下：
x = np.array(12) print(x, x.ndim) # 12, 0
张量轴的个数也叫做阶(rank)
向量
数字组成的数组叫做向量（1D张量），如下：
x = np.array([12, 3, 6, 14, 7]) print(x, x.ndim) # [12 3 6 14 7] 1
矩阵
向量组成的数组叫做矩阵（2D张量），如下：
x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]]) print(x, x.ndim) # [[ 5 78 2 34 0] # [ 6 79 3 35 1] # [ 7 80 4 36 2]] 2
3D张量与更高维张量
将多个矩阵组合成一个新的数组就是一个3D张量，如下：
x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]]]) print(x, x.ndim) # (array([[[ 5, 78, 2, 34, 0], # [ 6, 79, 3, 35, 1]], # # [[ 5, 78, 2, 34, 0], # [ 6, 79, 3, 35, 1]], # # [[ 5, 78, 2, 34, 0], # [ 6, 79, 3, 35, 1]]]), 3)
将多个3D张量组合成一个数组，可以创建一个4D张量
关键属性
张量是由以下三个关键属性来定义：
- 轴的个数：3D张量三个轴，矩阵两个轴
- 形状：是一个整数元祖，比如前面矩阵为(3, 5)，向量(5,)，3D张量为(3, 2, 5)
- 数据类型
在Numpy中操作张量
以前面加载的 train_images为：
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
比如进行切片选择 10~100个数字：
train_images[10:100].shape # (90, 28, 28)
数据批量的概念
深度学习模型会将数据集随机分割成小批量进行处理，比如：
batch = train_images[:128] batch.shape # (128, 28, 28)
现实世界的数据张量
下面将介绍下现实世界中数据的形状：
- 向量数据：2D张量，(samples, features)
- 时间序列数据或者序列数据：3D张量，(samples, timesteps, features)
- 图像：4D张量，(samples, height, width, channels) 或 (samples, channels, height, width)
- 视频：5D张量，(samples, frames, height, width, channels) 或 (samples, frames, channels, height, width)
张量运算
类似于计算机程序的计算可以转化为二进制计算，深度学习计算可以转化为数值数据张量上的一些张量运算(tensor operation)
上面模型的隐藏层代码如下：
keras.layers.Dense(512, activation='relu')
这一层可以理解为一个函数，输入一个2D张量，输出一个2D张量，就如同上面感知机那一节最后输出的计算函数：
output = relu(dot(W, input) + b)
逐元素计算
Relu 和加法运算都是逐元素的运算，比如：
# 输入示例 input_x = np.array([[2], [3], [1]]) # 权重 W = np.array([[5, 6, 1], [7, 8, 1]]) # 计算输出 z z = np.dot(W, input_x) # 实现激活函数 def naive_relu(x): assert len(x.shape) == 2 x = x.copy() for i in range(x.shape[0]): for j in range(x.shape[1]): x[i, j] = max(x[i, j], 0) return x # 激活函数对应的输出 output = naive_relu(z) output
广播
张量运算那节中，有这样一段代码：
output = relu(dot(W, input) + b)
dot(W,input)是2D张量， b是向量，两个形状不同的张量相加，会发生什么？
如果没有歧义的话，较小的张量会被广播，用来匹配较大张量的形状：
input_x = np.array([[1], [3]]) # 权重 W = np.array([[5, 6], [7, 8]]) b = np.array([1]) # 计算输出 z z = np.dot(W, input_x) + b # array([[24], # [32]])
张量点积
点积运算，也叫张量积，如：
import numpy as np # 输入示例 input_x = np.array([[2], [3], [1]]) # 权重 W = np.array([[5, 6, 1], [7, 8, 1]]) np.dot(W, input_x)
两个向量之间的点积是一个标量：
def naive_vector_dot(x, y): assert len(x.shape) == 1 assert len(y.shape) == 1 assert x.shape[0] == y.shape[0] z = 0. for i in range(x.shape[0]): z += x[i] * y[i] return z x = np.array([1,2]) y = np.array([1,2]) naive_vector_dot(x, y) # 5.0
矩阵和向量点积后是一个向量：
np.dot(W, [1, 2, 3]) # array([20, 26])
张量变形
前面对数据进行预处理的时候：
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) train_images = train_images.astype('float32') / 255
上面的例子将输入数据的shape变成了(60000, 784)，张量变形指的就是改变张量的行和列，得到想要的形状，前后数据集个数不变，经常遇到一个特殊的张量变形是转置(transposition)，如下：
x = np.zeros((300, 20)) x = np.transpose(x) x.shape # (20, 300)
梯度优化
针对每个输入，神经网络都会通过下面的函数对输入数据进行变换：
output = relu(dot(W, input_x) + b)
其中：
- relu：激活函数
- W：是一个张量，表示权重，第一步可以取较小的随机值进行随机初始化
- b：是一个张量，表示偏置
现在我们需要一个算法来让我们找到权重和偏置，从而使得y=y(x)可以拟合样本输入的x
再回到感知器
感知器学习的过程就是其中权重和偏置不断调优更新的过程，其中的偏置可以理解成输入为1的权重值，那么权重是怎么更新的呢？
首先，介绍一个概念，损失函数，引用李航老师统计学习方法书中的一个解释：
监督学习问题是在假设空间中选取模型f作为决策函数，对于给定的输入X，由f(X)给出相应的输出Y，这个输出的预测值f(X)与真实值Y可能一致也可能不一致，用一个损失函数（loss function）或代价函数（cost function）来度量预测错误的程度，损失函数是f(X)和Y的非负实值函数，记作L(Y,f(X))
其中模型f(X)关于训练数据集的平均损失，我们称之为：经验风险（empirical risk），上述的权重调整，就是在不断地让经验风险最小，求出最好的模型f(X)，我们暂时不考虑正则化，此时我们经验风险的最优化的目标函数就是：
求解出此目标函数最小时对应的权重值，就是我们感知器里面对应的权重值，在推导之前，我们还得明白两个概念：
- 什么是导数
- 什么是梯度
什么是导数
假设有一个连续的光滑函数 f(x)=y，什么是函数连续性？指的是x的微小变化只能导致y的微小变化。
假设f(x)上的两点 a,b足够接近，那么 a,b可以近似为一个线性函数，此时他们斜率为 k，那么可以说斜率k是f在b点的导数
总之，导数描述了改变x后f(x)会如何变化，如果你希望减小f(x)的值，只需要将x沿着导数的反方向移动一小步即可，反之亦然
什么是梯度
梯度是张量运算的导数，是导数这一概念向多元函数导数的推广，它指向函数值上升最快的方向，函数值下降最快的方向自然就是梯度的反方向
随机梯度下降
推导过程如下：
感知器代码里面的这段:
self.w += input_vector * rate * delta
就对应上面式子里面推导出来的规则
总结
再来看看全部的手写字识别模型代码：
from keras import models from keras import layers from keras.utils import to_categorical (train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data() train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) train_images = train_images.astype('float32') / 255 test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28)) test_images = test_images.astype('float32') / 255 train_labels = to_categorical(train_labels) test_labels = to_categorical(test_labels) network = models.Sequential() network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,))) network.add(layers.Dense(10, activation='softmax')) network.compile(optimizer='rmsprop',loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy']) network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128) test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels) print('test_acc:', test_acc)
- 输入数据保存在
float32格式的Numpy张量中，形状分别是(60000, 784)和(10000, 784) - 神经网络结构为：1个输入层、一个隐藏层、一个输出层
- categorical_crossentropy是针对分类模型的损失函数
- 每批128个样本，共迭代5次，一共更新(469 * 5) = 2345次
说明
对本文有影响的书籍文章如下，感谢他们的付出：
- [统计学习方法] 第一章
- Neural Networks and Deep Learning 第一章
- Deep Learning with Python 第二章
- handsonMlwithSklearnandTF
- hanbt零基础入门深度学习系列
![[深度学习入门]什么是神经网络？[神经网络的架构、工作、激活函数]](https://ucc.alicdn.com/pic/developer-ecology/u4n2puyxrj26a_391330b2e3e64307a81bd65a90b63e99.png?x-oss-process=image/resize,h_160,m_lfit)
