【每日算法Day 109】五大解法,带你深入了解完全背包方案数

简介: 【每日算法Day 109】五大解法,带你深入了解完全背包方案数

今天这题是完全背包问题 + 背包问题方案数,我一共列举了 5 种解法,层层递进优化。并且从两个角度殊途同归,最终优化到同一个式子。强烈建议掌握,对理解背包问题有很大帮助。

题目链接

LeetCode 面试题 08.11. 硬币[1]

题目描述

给定数量不限的硬币,币值为 25 分、10 分、5 分和 1 分,编写代码计算 n 分有几种表示法。(结果可能会很大,你需要将结果模上 1000000007)

说明:

  • 0 <= n (总金额) <= 1000000

示例1

输入:
n = 5
输出:
2
解释:
有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2

输入:
n = 10
输出:
4
解释:
有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

题解

首先我们规定一些记号,用  来表示第  种硬币的面值,用  表示用前  种硬币组成面值  的方案数。令  表示需要表示的面值, 表示硬币数。

朴素想法(错误)

首先我们可以想到,最朴素的方法不就是组成面值  的方案数等于所有组成面值  的方案数之和

但是这样有个很严重的问题,就是会产生重复计算,也就是将 6 = 1 + 56 = 5 + 1 视为两种情况。

动态规划 1

朴素想法的纠正方法就是,规定拆解后的数字是有序的,这样就不会出现重复计算了。

那么具体怎么实现呢?其实只需要加上一个约束,也就是强制令  为组成面值  的最大面值硬币。那么用掉它之后,组成面值  的最大面值硬币仍然只能是  ,这样转移下去就一定是有序的,不会出现面值突然增大的情况。转移方程只需要修改一下转移后的可用硬币 :

时间复杂度  ,空间复杂度  。

动态规划 2(超时)

另一条思考路线是,我们假设第  个硬币用  枚,然后枚举所有的 就行了。转移方程很好写:

但是这样时间复杂度太高了,直接超时。

时间复杂度  ,空间复杂度  。

转移方程优化

神奇的地方来了,上面两种方法,全部可以优化为同一个式子,仔细看好了。

动态规划 1:

首先看第一个方法,转移方程为:

我们令  ,又可以得到:

两式左右两边相减可以得到:

动态规划 2:

再看第二个方法,转移方程为:

令  ,又可以得到:

两式左右两边相减可以得到:

最终形式:

所以,最终**两个方法消去求和之后,形式是一样的!**都是:

时间复杂度  ,空间复杂度  。

空间优化

注意到,上面转移方程每个时刻  其实只和  还有  时刻有关,所以可以把第一个维度消除掉。这样转移方程就变为了:

但是需要特别注意的是,这里一共有三项,分别表示的是第  时刻、第  时刻、第  时刻。所以在两层循环遍历的时候,第一层循环必须是遍历硬币  ,第二层才是遍历组成的面值  ,这样才不会导致第  时刻的值被覆盖掉无法访问。

时间复杂度  ,空间复杂度  。

数学法

这个方法就只针对本题硬币种类比较少的情况了。

假设组成面值  需要  枚 25 分,  枚 10 分,  枚 5 分,  枚 1 分,那么有:

这里  我们是需要枚举的,范围是  ,所以我们令 ,那么就得到了:

那么  的范围是  。而  确定了之后,  的范围就是  。而  都确定了之后,  是唯一确定了的。所以最终的方案数就是:

所以最终我们遍历 ,然后令 。接着令 ,,最后对  进行累加就行了:

时间复杂度  ,空间复杂度  。

代码

动态规划 1(c++)

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    static const ll mod = 1e9 + 7;
    static const int N = 1000010;
    static const int M = 4;
    ll dp[M][N];
    int p[M] = {1, 5, 10, 25};
    int waysToChange(int n) {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 0; i < M; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                for (int k = 0; k <= i; ++k) {
                    if (j >= p[k]) {
                        (dp[i][j] += dp[k][j-p[k]]) %= mod;
                    }
                }
            }
        }
        return dp[M-1][n];
    }
};

动态规划 2(超时)(c++)

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    static const ll mod = 1e9 + 7;
    static const int N = 1000010;
    static const int M = 4;
    ll dp[M][N];
    int p[M] = {1, 5, 10, 25};
    int waysToChange(int n) {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 0; i <= n/p[0]; ++i) dp[0][i*p[0]] = 1;
        for (int i = 1; i < M; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                for (int k = 0; k <= j/p[i]; ++k) {
                    (dp[i][j] += dp[i-1][j-k*p[i]]) %= mod;
                }
            }
        }
        return dp[M-1][n];
    }
};

转移方程优化(c++)

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    static const ll mod = 1e9 + 7;
    static const int N = 1000010;
    static const int M = 4;
    ll dp[M][N];
    int p[M] = {1, 5, 10, 25};
    int waysToChange(int n) {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 0; i <= n/p[0]; ++i) dp[0][i*p[0]] = 1;
        for (int i = 1; i < M; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if (j >= p[i]) (dp[i][j] += dp[i][j-p[i]]) %= mod;
            }
        }
        return dp[M-1][n];
    }
};
空间优化(c++)
class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    static const ll mod = 1e9 + 7;
    static const int N = 1000010;
    static const int M = 4;
    ll dp[N];
    int p[M] = {1, 5, 10, 25};
    int waysToChange(int n) {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        dp[0] = 1;
        for (int j = 0; j < M; ++j) {
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                if (i >= p[j]) {
                    (dp[i] += dp[i-p[j]]) %= mod;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

数学法(c++)

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    static const ll mod = 1e9 + 7;
    int waysToChange(int n) {
        ll res = 0;
        for (int i = 0; i <= n/25; ++i) {
            ll r = n - 25 * i;
            ll x = r / 10, y = r / 5;
            (res += (x + 1) * (y - x + 1)) %= mod;
        }
        return res;
    }
};
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