正文

二重积分：

二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值；

举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积

二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积

二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

二重积分的定义式：

x与y叫做积分变量，f ( x , y ) 叫做被积函数，d σ 叫做面积元素，D叫做积分区域

二重积分的表达形式：

1、直角坐标形式：

其中d x叫 做 直 角 坐 标 系 中 的 面 积 元 素

2、极坐标系形式：

其中ρ d ρ d θ叫做极坐标系中的面积元素

二重积分的计算法：将二重积分转化为二次积分计算

1、在直角坐标系下，

f ( x , y ) 中 x 的 取 值 区 间 为 [ x 0 , x 1 ] ， 则 可 推 到 出 y 的 取 值 区 间 为 [ g ( x 0 ) , g ( x 1 ) ]则有

反之，若f ( x , y ) 中y的取值区间为[y_0,y_1]，则可推到出x的取值区间为[ g ( y 0 ) , g ( y 1 ) ] 则有

2、在极坐标系下，f(ρcosθ,ρsinθ)中θ的取值范围为[ θ 0 , θ 1 ]则有

三重积分：

三重积分的现实(物理)含义：体积 × 物理量 = 三重积分值；

举例说明：

1. 三重积分计算立体体积，即：体积 × 1 = 立体体积
2. 三重积分计算立体质量，即：体积 × 体密度 = 立体质量

三重积分的定义式：

其中f ( x , y , z ) 叫做被积函数，d v v叫做体积元素，Ω 叫做积分区域

三重积分的表达形式：

1、直角坐标形式：

其中d x d y d z 叫做直角坐标系的体积元素

2、柱面坐标系形式：

与定义式的关系为

3、球面坐标系形式

与定义式的关系为

其中

r是图形到原点的距离

ψ 是图形与z轴的角度，原点为顶点

θ是图形与xoy面投影的夹角，原点为顶点三重积分的计算法：

1、将三重积分转化为三次积分计算：

在直角坐标系下：f ( x , y , z ) 中的z的取值范围可以被x 、y 表示为[ z 0 ( x , y ) , z 1 ( x , y ) ] 在x y平面上，y 的取值范围可以被 x表示为[ y 0 ( x ) , y 1 ( x ) ]则有

2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分

在直角坐标系下：f ( x , y , z )中的z 的取值范围为[ z 0 , z 1 ] x,y所组成的区域可以表示为区域D ，则有：