二重积分、三重积分

简介: 二重积分、三重积分

正文


二重积分:


二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;


举例说明:二重积分的现实(物理)含义:


二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积

二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积

二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量


二重积分的定义式:


00000.png

x与y叫做积分变量,f ( x , y ) 叫做被积函数,d σ 叫做面积元素,D叫做积分区域


二重积分的表达形式:


1、直角坐标形式:


0000.png

其中d x叫 做 直 角 坐 标 系 中 的 面 积 元 素

2、极坐标系形式:


000.png

其中ρ d ρ d θ叫做极坐标系中的面积元素


二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算


1、在直角坐标系下,

f ( x , y ) 中 x 的 取 值 区 间 为 [ x 0 , x 1 ] , 则 可 推 到 出 y 的 取 值 区 间 为 [ g ( x 0 ) , g ( x 1 ) ]则有


00.png

反之,若f ( x , y ) 中y的取值区间为[y_0,y_1],则可推到出x的取值区间为[ g ( y 0 ) , g ( y 1 ) ] 则有

0.png

2、在极坐标系下,f(ρcosθ,ρsinθ)中θ的取值范围为[ θ 0 , θ 1 ]则有


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三重积分:


三重积分的现实(物理)含义:体积 × 物理量 = 三重积分值;

举例说明:

  1. 三重积分计算立体体积,即:体积 × 1 = 立体体积
  2. 三重积分计算立体质量,即:体积 × 体密度 = 立体质量


三重积分的定义式:


2.png

其中f ( x , y , z ) 叫做被积函数,d v v叫做体积元素,Ω 叫做积分区域


三重积分的表达形式:


1、直角坐标形式:

3.png

其中d x d y d z 叫做直角坐标系的体积元素

2、柱面坐标系形式:


4.png


与定义式的关系为


5.png

3、球面坐标系形式

6.png

与定义式的关系为

7.png

其中


r是图形到原点的距离

ψ 是图形与z轴的角度,原点为顶点

θ是图形与xoy面投影的夹角,原点为顶点三重积分的计算法:


1、将三重积分转化为三次积分计算:


在直角坐标系下:f ( x , y , z ) 中的z的取值范围可以被x 、y 表示为[ z 0 ( x , y ) , z 1 ( x , y ) ] 在x y平面上,y 的取值范围可以被 x表示为[ y 0 ( x ) , y 1 ( x ) ]则有


8.png


2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分


在直角坐标系下:f ( x , y , z )中的z 的取值范围为[ z 0 , z 1 ] x,y所组成的区域可以表示为区域D ,则有:


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