积分

简介: 1.重积分 设D是平面上的有界闭区域,z=f(x,y)是D上的有界函数,则称∬Df(x,y)dσ\iint_D f(x,y)d\sigma为二重积分. 二重积分的几何意义 代表着曲顶柱体的体积,底是区域D,顶为曲面z=f(x,y),侧面准线是D的边界,母线平行于z轴. 设Ω\Omega是空间有界闭区域,μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)是此区域上
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1.重积分

设D是平面上的有界闭区域,z=f(x,y)是D上的有界函数,则称Df(x,y)dσ为二重积分.

二重积分的几何意义
代表着曲顶柱体的体积,底是区域D,顶为曲面z=f(x,y),侧面准线是D的边界,母线平行于z轴.

Ω是空间有界闭区域,μ=f(x,y,z)是此区域上的有界函数,则称Ωf(x,y,z)dV为三重积分.

三重积分的物理意义
μ为物体的密度,则积分代表着空间物体Ω的质量

1.1二重积分的计算

转化为累次积分计算.
直角坐标系
积分区域D由不等式

{ϕ1(x)yϕ2(x)axb

确定,二重积分适合化为先x后y的累次积分,即
Df(x,y)dσ=badxϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy

极坐标
在极坐标(ρ,θ)中,通常将二重积分化为先ρθ的累次积分.
若极点O在区域D之外,则Df(x,y)dσ=βαdθρ2(θ)ρ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
若极点O在D的内部,如极点为圆心,则Df(x,y)dσ=2π0dθρ(θ)0f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

1.2三重积分的计算

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