深度学习方法在计算机视觉、自然语言处理等领域发挥着越来越重要的作用。尽管数据分析和神经网络 (NN) 的复杂性不断发展，但迄今为止，这项工作的大部分都不是以大量科学数据为基础的。表征材料的内部结构和缺陷是一项具有挑战性的任务，通常需要解决具有未知拓扑、几何形状、材料特性和非线性变形的逆问题。近日，来自布朗大学、MIT 和南洋理工大学的研究团队提出了一个基于物理信息神经网络（PINN）的通用框架，用于解决连续体固体力学中的几何识别问题。该框架可以应用于涉及未知材料特性和高度可变形几何的不同应用中的其他逆问题，针对材料表征、质量保证和结构设计。该研究以「Analyses of internal structures and defects in materials using physics-informed neural networks」为题，于 2022 年 2 月 16 日，发表在《Science Advances》上。
几何识别（Geometry identification）问题是科学、技术和社会兴趣的一类逆问题，涉及以下领域：土木、机械、核能和航空结构的安全和故障分析；陆、海、空运输；微电子器件的可靠性分析；材料的无损检测；和工程材料的加工。在这里，研究人员提出了一种基于 PINN 的独特、系统的方法，用于解决连续体固体力学中的几何识别问题。该方法将固体力学中重要的已知偏微分方程（PDE）与NN 相结合，构成了一个统一的计算框架，包括正向求解器和逆向算法。值得注意的是，这里提出了一种以可微分和可训练的方式直接参数化固体几何形状的方法。通过使用神经网络的工作流程，该方法可以通过深度学习过程自动更新几何估计。原型反问题的设置为了证明方法的有效性，研究了矩阵-空隙/包含系统上的二维原型问题作为概念证明
图 1：本研究中几何和材料识别原型问题的一般设置。
在此设计了六个特定的平面应变问题。对于每种情况，指定不均匀性（空隙/夹杂物）的类型、未知参数、材料模型（可压缩线弹性、不可压缩 Neo-Hookean 超弹性或可压缩变形塑性）、载荷类型（单轴/双轴）和位移测量位置（均匀分布在外边界/实体内部）。
图 2：原型问题的案例 0 到 5 的设置。
这六个案例的解决将为该方法在不同的实际场景下提供一个概念证明，证明方法的广泛适用性。三种材料模型（案例 0、1 和 3 作为基准案例）涵盖了自然材料和工程材料在实际应用中的广泛机械行为模式。案例 2 探讨了工程应用场景，其中空隙具有较大的纵横比（例如裂缝），用细长的狭缝来近似。案例 4 展示了该方法对具有多个空隙的材料（例如多孔材料或具有多个裂缝/狭缝的材料）的适用性。最后，对于案例 5，估计了软圆形夹杂物的材料和几何参数，以表明所提出的方法可以处理组合的材料和几何识别问题。连续固体力学的 PINN 架构研究人员在涉及材料和几何识别的连续固体力学中建立了 PINN 的一般公式。为三种材料模型设计平面应变问题的 PINN 架构，如（i）图 3A（可压缩）线弹性，（ii）图 3B（不可压缩） 超弹性，和（iii）图 3C（可压缩）变形塑性。由于其数学表达式的特点，不同材料模型的 PINN 架构略有不同。图 3D 包括架构中感兴趣的机械量的定义。
图 3：用于连续固体力学的 PINN 架构。
参数估计结果案例 0 到 5 的参数估计结果如表 1 所示。对于每个案例，通过呈现绝对误差和相对误差来比较未知参数的估计值和参考值。表 1 表明 PINN 估计未知参数的准确度很高，大多数参数的相对误差为 O(10^-2)，某些参数的相对误差为 O(10^-4)。
总之，给定分散的位移测量，PINN 可以准确地表征各种问题设置的内部空隙/夹杂物的几何形状（和材料特性），包括不同的本构关系、空隙形状和空隙数量。结果表明研究人员所提方法在解决材料力学中广泛的逆问题方面具有普遍性。此外，该方法不仅能够估计未知参数，而且还提供固体变形图案的定量测量。广泛应用研究人员所提的方法可以应用于广泛的工程问题。迄今为止，基于超声、主动热成像、涡流、光学相干断层扫描和微波的不同材料的实验技术已经开发出来。通过在这些问题中整合各自的物理原理，该方法可以潜在地与这些技术相结合，以处理未知和移动的几何形状，从而将该方法扩展到连续固体力学之外。值得注意的是，可能需要仔细考虑治理 PDE 对实际问题的适用性。所提方法也可用于结构设计/优化问题，通常，机械结构的设计在体积限制内具有优化的刚度。对于这些问题，PINN 可以将设计目标作为损失项纳入其中。论文链接：https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.abk0644
