开发者学堂课程【大数据学习-数学基础及应用：向量，矩阵概念】学习笔记，与课程紧密联系，让用户快速学习知识。
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向量，矩阵概念
内容介绍:
一、学前须知
二、向量的基本概念
三、向量的表示方法
四、向量相关的数学操作
五、矩阵的概念
六、矩阵的数学操作：
一、学前须知：
本次微课堂的题目为：程序员的数学基础及应用，主要重温大学的数学内容。本次课堂的目的：学习数学上的基础概念，比如向量、矩阵、导数，梯度等基础概念，做一个系统性的回顾。
课程主要分为下面五个部分：第一是向量，矩阵的概念，第二个是向量在游戏中的应用。第三个是矩阵的一个应用场景，就是奇异值分解及其应用，第四是导数梯度的基本概念，第五个是最优化方法，以及相关的一些应用。
二、向量的基本概念
首先介绍一下向量的基本概念。不知道大家在平时的生活中有没有注意到有两个量，就在生活中经常出现，但是不知道有没有思考过这两个量有什么不同，其中一个就是位移，另一个是距离。观看下图：
有两个线段，一个是 OA ,一个是 AB 。他们一个明显的区别就是 AB是有方向的，是一个有效性的。OA 是距离。AB 是位移，两个线段一个是OA，现在 oA 1500米，另一个是线段 AB 2千米。不同的是 AB 是有方向的有向线段。所以 AB 表示的是位移，Oa 表示的是距离。位移作为一个既有大小又有方向的量，它是一个向量。距离是只有大小没有方向的量，是一个数量，生活中常见的一些数量包括质量，身高，面积，体积等等，常见的一些向量包括重力速度，加速度，物理中经常见到的量，以及其他的一些量。
三、向量的表示方法
向量的表示方法有两种，一种是几何表示法，还有一种是字母表示法。几何表示法：
常用有向线段表示。这个线段的长度就是表示这个向量的大小，通常也叫做向量的模。箭头所指的方向就会表示向量的方向。
字母表示法：是通常在书面上写公式时会使用到这种方法，它也分为两种，一种是用一个小写的字母去直接代表这个线段，然后在字母上方加一个箭头，表示他是一个向量。另一种方法是用两个大写字母前面的字母表示下面的起点，后面一个字母表示的是有向线段的终点，在上方再加一个箭头。也同样表示一个向量。
图片上都显示了有向线段，现在可以表示向量。
但其实有向线段与向量还是有明显的区别：
有向线段有固定起点大小以及方向。但是向量是可选任意点作为一个作为起点，只要他的方向和大小一致，向量就相等。
两个特殊的向量：
零向量：零向量就是代表长度为零的向量。记做零，然后上面加一个箭头。零向量的一个最大的特点就是它的方向是不确定的，也就是它的方向是无穷的。
单位向量：单位向量是另一个特殊向量，它的长度等于一个单位长度。但是这里的单位长度并不是表示他是一，这个单位是可以在不同的场景中进行不同的定义。
平行向量：平行向量也可以称作共线向量，只要两个或多个向量，它们的方向是相同或者相反。而且他们的长度不是零，那么这些向量就可以看作是平行向量。如下图：
这些向量都是平行向量的例子。
如何判断向量相等：
因为向量一个有方向的量，所以在长度相等的同时，必须方向也相同，这样的向量才能认为它们相等。所以从平行和相等这两个概念出发，可以推出来向量相等，一定能够推出来向量平行。向量相等是向量平行的充分条件，但是从向量平行反推相等，这样是不成立的。
四、向量相关的数学操作
首先是向量的加法：
两个向量相加，得到的和一定是从一个向量的起点。到另一个向量的终点，获得的这样一个新的向量。如下图：
比如 a 加 B ，得到的一个最终的结果向量就是如上图矩形的对角线，其中有两个 a 和两个 B，比如右侧的 a 是左侧 a 向量的一个拷贝，右侧的 B 向量也是左侧 B 向量的一个拷贝，他们是完全相同的，因为向量，只要它的大小和方向都相同，它是相等的，所以这两个向量相加可以看作是在这个平行四边形上，得到它的一个对角线。
向量点乘：
向量点乘是一个标量，它的结果是一个纯数字，是不带方向信息的一个量，公式是 a 向量和 B 向量的点乘，结果是 a 的模乘以 B 的模，再乘以它们夹角的余弦值。
点乘的作用非常大，是平时向量中的一个非常常用的操作，通过点乘的一个方向，也就是它是正值还是负值，就可以迅速判断出这两个量他们指的方向是不是相近。因为相近，cosX 是一个大于零的值，如果相反，cosX 小于零，所以从符号上面就可以迅速判断出这两个向量的指向。
向量的叉乘：
叉乘跟点乘一样，也表示向量的乘积。但是他的结果仍然是一个向量，并不是一个标量。公式：A 向量叉乘 B 向量的结果是 A 的模乘以 B 的模再乘以 sinX ，截止到此，结果都是一个标量，但是后面最后还乘一个 N ，这个 N 是一个法向量，所以标量乘以法向量最终的结果还是一个向量。
法向量：
法向量的概念就是 a 和 B 共同构成一个平面，那么垂直这个平面
的一个向量就可以认为是该平面的一个法向量。下图是如何判断一个法向量的方向：
因为是a叉乘B，可以举起自己的右手，四个手指从 a 转向 B 是一个逆时针的方向，a 转向 B ，大拇指指的方向就是法向量的方向。
五、矩阵的概念
矩阵也是线性代数中非常重要的一个概念，在游戏引擎以及机器学习中，矩阵经常使用。在线性代数中的定义是矩阵是以行和列显示组织一个巨型的数字块，也可以简单地看作是向量的一个数字。矩阵是有维度的，它跟向量的一个最大的区别就是矩阵的维度是由两个数字去决定的。一个是矩阵包含的行数，另一个是矩阵包含的列数。如下图所示：
表示一个维度为 M 乘 N 的一个矩阵，它的行数为 M 行，然后列数为 N 列，如果 M 等于 N ，即这个矩阵的行数和列数相同，那么这个矩阵也可以也叫做方阵。
矩阵跟线性变换的关系非常密切的。
线性变换：假设 V 和 W 是数域 P 上的一个线性空间，A 是 V W 的一个映射。如果满足这两个条件，称a 是到W 的一个线性映射。概念比较抽象。当 W 等于 V 时，这个变换线性映射前后的空间是同一个空间的时。A 就会称为线性空间 V 的一个线性变换。这个线性变换是线性映射中的一种特殊的方式。
通过线性变换可以引出它跟矩阵的关系。先假设，西格玛为线性空间 V 的一个线性变换，ξ 一到 N，是数域 p 上线性空间 V 的一组基，基就是空间中有一组向量，然后这组向量的话都是线性无关的，它们不可能被其他这个空间中的向量线性表示出来，举一个比较生动的例子，比如现在面前的这个桌面，只要平行于这个桌面的两个向量就可以把这个桌面的平面确定下来。随后再在这个桌面上增加其他更多的量。这个桌面并不发生任何改变。之前增加的那两个向量就可以作为这个桌面坐标系的一组基。
基向量的象可以被基线性表出，线性方程组是一个多元一次的线性方程组，基向量的象可以认为是一个因变量，就是把最左侧等号左侧的 σ 把它变成 a 。然后右侧的 ξ 把它变成 X ，就是一个多元一次的线性方程组。
然后把这个线性方程组用矩阵形式表示。就会表示成右侧这种方式:
所有的系数也是从阿尔法一到 N ，这个系数整体就表示 a 这个矩阵，总结来说，线性变换 σ 就是在基 ξ 一到N下面的一个矩阵。
矩阵俩个重要概念：
矩阵就是映射。矩阵就是在向量空间中的一种对运动的描述。
转置：
转置是矩阵特有的一种概念，比如说一个 N 乘 N 的矩阵 M ，那么它的转置会被记作 M 右上方有一个 T，转置之后，矩阵原来是 M 行 N 列，转置之后就变成 NM 列。如下图所示：
原来是三行两列，转置之后变成二行三列。
六、矩阵的数学操作：
第一个是标量矩阵的乘法。标量矩阵乘法比较好理解，比如说一个标量 K 跟一个矩阵 M 相乘，就等于这个矩阵中所有的元素与这个 K 相乘，结果还是一个矩阵，它的尾数跟相乘之前的尾数一样。
下面一个矩阵乘法就跟前面一个不一样，它是矩阵与矩阵之间的乘法，比如说a 和B 2个矩阵相乘。那么对于a b 的两个维度，包含要求，比如 a，是 R 乘 N 的维度，B 是它的行数要跟 a 的列数必须一致，行数必须是 N，在这个例子中，它的维度是 N 乘 C，由 R 乘 N 的矩阵，和 N 乘 C 的矩阵相乘之后，会获得一个新的矩阵，就是 R乘以C维度的矩阵。然后AB的元素，比如第i j的元素。即位于第 i行第 J 列的元素就等于 a 的第 I 行向量与 B 的第 J 行向量的点乘的结果。
