小试牛刀
首先看一道某跨国公司的招聘试题。
写一个算法，求以下序列之和：
-1,1,-1,1,…,(-1)n次方
当你看到这个题目时，你会怎么想？ for 语句？ while 循环？
先看算法1-1:
int sum1( int n ){ int sum =0; for ( int i =1; i <= n ; i ++) sum += pow (-1, i );/／表示（-1)^ i return sum ;
这段代码可以实现求和运算，但是为什么不这样算？!
再看算法1-2：
int sum2( int n ){ int sum =0; if ( n %2==0) sum =0; else sum =-1; return Sum ；
看到这段代码后你可能恍然大悟，原来可以这样啊？这不就是数学家高斯使用的算法吗？
一共50对数，每对数的和均为101，因此总和为：
(1+100)x50=5050
1787年，10岁的高斯用了很短的时间就算出了结果，而其他孩子却要算很长时间。
可以看出，算法1-1需要运行 n +1次，如果 n =10000，就要运行10001次，而算法1-2仅仅需要运行1次！是不是有很大差别？
高斯的方法我也知道，但遇到类似的题还是．…我用的笨办法也是算法吗？
答：是算法。
什么是算法
算法是对特定问题求解步骤的一种描述。
算法只是对问题求解方法的一种描述，它不依赖于任何一种语言，既可以用自然语言、程序设计语言( C 、 C ++、 Java 、 Python 等）描述，也可以用流程图、框图来表示。通常情况下，为了更清楚地说明算法的本质，我们会去除计算机语言的语法规则和细节，采用“伪代码”来描述算法。“伪代码”介于自然语言和程序设计语言之间，它更符合人们的表达方式，容易理解，但它不是严格的程序设计语言。如果要上机调试，则需要转换成标准的计算机程序设计语言才能运行。
算法的特性
(1）有穷性
算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
(2）确定性
每条语句都有确定的含义，无歧义。
(3)可行性
算法在当前环境条件下可以通过有限次运算来实现。
(4）输入／输出
有零个或多个输入以及一个或多个输出。
算法1-2的确算得挺快的，但怎么知道我写的算法好不好呢？
“好”算法的标准
如下：
(1）正确性
正确性是指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，能够通过典型的软件测试，达到预期。
(2）易读性
算法遵循标识符命名规则，简洁易懂，注释语句恰当适量，方便自己和他人阅读，便于后期调试和修改。
(3）健壮性
算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。例如，在学生信息管理系统中登记学生年龄时，若将21岁误输入为210岁，则系统应该有错误提示。
(4）高效性
高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。
(5）低存储性
低存储性是指算法所需的存储空间小。对于像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。算法占用的空间大小被称为空间复杂度。
那么我们应该如何去衡量不同算法之间的优劣呢？
主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。
一、时间复杂度
我们想要知道一个算法的「时间复杂度」，很多人首先想到的的方法就是把这个算法程序运行一遍，那么它所消耗的时间就自然而然知道了。
这种方式可以吗？当然可以，不过它也有很多弊端。
这种方式非常容易受运行环境的影响，在性能高的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑的结果相差会很大。而且对测试时使用的数据规模也有很大关系。再者，并我们在写算法的时候，还没有办法完整的去运行呢。
因此，另一种更为通用的方法就出来了：「 大O符号表示法 」，即 T(n) = O(f(n))
我们先来看个例子：
for(i=1; i<=n; ++i) { j = i; j++; }
通过「 大O符号表示法 」，这段代码的时间复杂度为：O(n) ，为什么呢?
在 大O符号表示法中，时间复杂度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表示每行代码执行次数之和，而 O 表示正比例关系，这个公式的全称是：算法的渐进时间复杂度
我们继续看上面的例子，假设每行代码的执行时间都是一样的，我们用 1颗粒时间 来表示，那么这个例子的第一行耗时是1个颗粒时间，第三行的执行时间是 n个颗粒时间，第四行的执行时间也是 n个颗粒时间（第二行和第五行是符号，暂时忽略），那么总时间就是 1颗粒时间 + n颗粒时间 + n颗粒时间 ，即 (1+2n)个颗粒时间，即： T(n) = (1+2n)*颗粒时间，从这个结果可以看出，这个算法的耗时是随着n的变化而变化，因此，我们可以简化的将这个算法的时间复杂度表示为：T(n) = O(n)
为什么可以这么去简化呢，因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。
所以上面的例子中，如果n无限大的时候，T(n) = time(1+2n)中的常量1就没有意义了，倍数2也意义不大。因此直接简化为T(n) = O(n) 就可以了。
常见的时间复杂度量级
常数阶O(1)
对数阶O(logN)
线性阶O(n)
线性对数阶O(nlogN)
平方阶O(n²)
立方阶O(n³)
K次方阶O(n^k)
指数阶(2^n)
上面从上至下依次的时间复杂度越来越大，执行的效率越来越低。
时间复杂度量级介绍
下面选取一些较为常用的来介绍：
常数阶O(1)
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)，如：
如： int i = 1; int j = 2; ++i; j++; int m = i + j;
上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
线性阶O(n)
这个在最开始的代码示例中就讲解过了，如：
for(i=1; i<=n; ++i) { j = i; j++; }
这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。
对数阶O(logN)
还是先来看代码：
int i = 1; while(i<n) { i = i * 2; }
从上面代码可以看到，在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下，假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2^n
也就是说当循环 log2^n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(logn)
线性对数阶O(nlogN)
线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。
就拿上面的代码加一点修改来举例：
for(m=1; m<n; m++) { i = 1; while(i<n) { i = i * 2; } }
平方阶O(n²)
平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。
举例：
for(x=1; i<=n; x++) { for(i=1; i<=n; i++) { j = i; j++; } }
这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²)
如果将其中一层循环的n改成m，即：
for(x=1; x<=m; x++) { for(i=1; i<=n; i++) { j = i; j++; } }
那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)
参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。
除此之外，其实还有 平均时间复杂度、均摊时间复杂度、最坏时间复杂度、最好时间复杂度 的分析方法，有点复杂，这里就不展开了。
二、空间复杂度
既然时间复杂度不是用来计算程序具体耗时的，那么我也应该明白，空间复杂度也不是用来计算程序实际占用的空间的。
定义
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度，同样反映的是一个趋势，我们用 S(n) 来定义。
空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)，我们下面来看看：
空间复杂度 O(1)
如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)
举例：
int i = 1; int j = 2; ++i; j++; int m = i + j;
代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)
空间复杂度 O(n)
我们先看一个代码：
int[] m = new int[n] for(i=1; i<=n; ++i) { j = i; j++; }
这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2-6行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)
总结
以上，就是对算法的时间复杂度与空间复杂度基础的分析
