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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

2014-11-10 616

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简介： 8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$. 证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.

8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.

证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0. \eex$$ 又 $A$ 奇异, $$\bex 0=|A|=|cI-B|\ra c\in \sigma(A)\ra c\leq \rho(B). \eex$$ 因此, $c=\rho(B)$. 另外, $A$ 不可约, 而 $B$ 非负不可约. 据定理 6.8 (Perron-Frobenius), $B$ 有一个对应于 $\rho(B)$ 的正特征向量 $x$, $$\bex Bx=\rho(B)x\ra Ax=0. \eex$$

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.4

4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢? 证明: Open problems.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明: (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad...

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}.

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机器学习/深度学习

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值. 证明: (1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数.

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.1

1. (Fan-Hoffman). 设 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 则 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设 $A\in M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $W\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

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