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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

2014-11-12 604

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简介： 13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

证明: 见 [R. Sinkhorn, A relationship between arbitrary positive matrices and doubly stochastic matrices, Ann. Math. Statist., 35 (1964), 876--879].

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$ 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.14

14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10

10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$ 证明: (1).

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