5. (Levinger, 1970) 设 $A$ 是个不可约非负方阵, 则函数 $$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上递增, 在 $[1/2,1]$ 上递减.
证明:
(1). 当 $$\bex 0\leq s<t\leq\frac{1}{2} \eex$$ 时, $$\beex \bea f(t)&=\rho(tA+(1-t)A^T)\\ &=\rho\sex{ \al(sA+(1-s)A^T) +(1-\al)(sA^T+(1-s)A) }\quad\sex{0\leq \al=\frac{1-s-t}{1-2s}\leq 1}\\ &\geq \rho(sA+(1-s)A^T)\quad\sex{\mbox{由第 4 题}}\\ &=f(s). \eea \eeex$$
(2). 当 $$\bex \frac{1}{2}\leq s<t\leq 1 \eex$$ 时, $$\beex \bea f(s)&=\rho(sA+(1-s)A^T)\\ &=\rho\sex{ \beta(tA+(1-t)A^T) +(1-\beta)(tA^T+(1-t)A) }\quad\sex{0\leq \beta=\frac{s+t-1}{2t-1}\leq 1}\\ &\geq \rho(tA+(1-t)A^T)\quad\sex{\mbox{由第 4 题}}\\ &=f(t). \eea \eeex$$
